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En ayant égard à la double valeur du radical, et en appliquant 
à l'équation précédente la série de Lagrange, on obtiendra deux 
series distinctes, qui représenteront précisément les deux racines 
voisines de œ qu'acquiert l'équation (24), lorsque u et v ont des 
valeurs voisines elles-mêmes de &, et dans l'hypothèse de F” (x) 
Hour 0; 
Reste maintenant à prouver que la série de Lagrange tirée de 
l'équation (23) doit nécessairement offrir la racine &. Pour cela, 
il faut se rappeler que u est, par hypothèse, une valeur appro- 
chée de &. Or, peut-être n'est-il pas inutile de faire remarquer 
qu'en disant que u est une valeur approchée de &, nous n’enten- 
dons pas dire seulement que u s'approche de &, mais par là 
nous entendons dire encore que si u est  &, alors de toutes 
les racines supérieures à 4, æ est la plus approchée de ce para- 
mètre, et que si u est => &, alors de toutes les racines inférieures 
à u, & est celle qui s'approche le plus de ce même paramètre. 
Cela bien retenu, en ayant égard au théorème 3 du $ 2, il est 
facile de voir que la proposition dont il s’agit sera démontrée, si 
l'on fait voir que l’on a 
AS F (u) 
f(u)= — Foy QUES 0 
selon que u est inférieur ou supérieur à &. 
A cet effet, nous observons que l'on a 
F(u) __ F(«+h) nu hE'(a+eh) 
EN ESA) en EEE) 
en mettant pour u et v leurs valeurs données par les formules (20) 
et (22), et retenant que & est un nombre compris entre o et 1. 
Or, comme on suppose que l'équation F' (x) = o n’a pas de 
racines comprises entre les limites & et u — à + h, elle n'en 
aura pas non plus entre les limites & + € h et à + 0 h; car ces 
deux limites se trouvent comprises entre les premières & et u, 
