SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 397 
parce que non-seulement &, mais par hypothèse aussi 4, est com 
pris entre o et 1. On aura donc 
"{ 
F" (x 
aæa+eh) 
+ 50: 
et par suite 
F (u) 
— Fr) ZX ou —- 0, 
selon que À est — ou = 0, Ou, ce qui revient au même, selon 
Que u est inférieur ou supérieur à ®œ. À 
On conclura donc, en vertu de la remarque faite plus haut, 
que la série de Lagrange tirée de l'équation (23) représente pré- 
cisément la racine & : ce qu'il fallait démontrer. 
En résumé, il résulte de l'analyse qui précède, que l'équation 
(1) étant donnée, et 4 étant une valeur approchée d'une de ses 
racines, par exemple &, on aura la valeur exacte de cette racine 
en appliquant la série de Lagrange à l'équation (1) ramenée préa- 
lablement à la forme (23). Ajoutons qe, pour que l’on soit sûr 
que la racine obtenue de la sorte représente effectivement «, il 
faut, comme nous l'avons remarqué plus haut, que la première 
dérivée de (1) n'ait pas de racines comprises entre les limites w 
et @. 4 
Pour montrer une application de cette règle, soit l'équation 
(37) F xt 1731 Ti g7a d— 183 —10x7+60,5— 0, 
laquelle rentre dans l'équation (24) du SIL. On sait qu'une de 
ses racines, savoir celle désignée par æ, dans l'endroit cité, est 
comprise entre les limites 6 et 6,1,eta pour valeur 6,040824... 
Supposons qu'il s'agisse de trouver cette racine par la règle 
précédente, et dans l'hypothèse qu’elle soit seulement connue à 
0,01 près. Nous prendrons ainsi w — 6,05, ce qui est une 
valeur de x suffisante pour notre objet; car, par les formules 
(26) du $ II, on voit que la première dérivée de l'équation don- 
