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paragraphe précédent démontrent que, par un choix convenable 
des valeurs de w et k, qui entrent dans la formule (3), nous pou- 
vons amener la racine & à devenir une quelconque des racines 
simples de la proposée. On voit par là que le rang qui convient à 
la racine &, dans la suite des termes formés par les racines de la 
proposée, rangées entre elles, d'après un de leurs caractères dis- 
tincüfs quelconques, dépend nécessairement de la manière dont 
la proposée a été réduite à la forme (2). 
Cela posé, supposons que la proposée (1) ait été réduite à la 
forme (2) d’une manière quelconque, fixée d'avance : ou, ce qui 
revient au même, supposons que dans la formule (3) les valeurs 
du terme « et du facteur k aient été, d'avance, arbitrairement 
déterminées. Admettons, de plus, que les racmes de la proposée 
aient été préalablement rangées, entre elles, d’après un caractère 
distinctif quelconque, arbitrairement choisi. 
Cela étant, si l'on applique la série de Lagrange à la formule (3), 
la racine & qu'on obtiendra sera nécessairement d’un ordre déter- 
miné. Or, c’est cet ordre qu'il s’agit de reconnaitre a priori. 
Nous avons déjà donné, au $ IT, un essai de solution de cette 
question, en nous fondant sur le mode d’arrangement des racmes 
de la proposée que nous y avons exposé, et qui, d’ailleurs, s’ap- 
puie sur la considération des racines réelles de la première déri- 
vée. Nous allons, maintenant, résoudre la même question en par 
tant d’un nouveau mode d’'arrangement des racines de la proposée, 
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mode bien préférable à celui que nous venons de rappeler, soit 
par sa généralité, soit par l'importance des résultats auxquels il 
conduit. 
Le mode d’arrangement dont il s’agit se fonde sur le théorème 
suivant de l'illustre Fourier, relatif à l'analyse des équations déter- 
minées. 
Soit F (x) [premier membre de la proposée (1)] une fonction 
de x, réelle et entière, et du degré m; et soient 
F'(x), F'(x), F'(x).... Ft (a), 
