SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 401 
ses diverses dérivées, depuis la première jusqu’à celle de l'ordre 
m, laquelle, comme on sait, est indépendante de x. 
A l'aide de ces fonctions, formons la suite que nous allons 
écrire : 
(K) For), Fm0{r), Fi 3{2)... .F(x), F'(x), FU), Fa). 
Soient, en outre, a et b deux nombres réels quelconques, dont b 
soit = a. Si l'on substitue, d'abord, dans les fonctions de la 
suite (K) au lieu de x la valeur æ — a, et l'on marque le signe 
correspondant de chaque fonction, on aura une suite de signes 
qui présentera un certain nombre de permanences n. Si ensuite 
on substitue dans les mêmes fonctions, au lieu de x, la valeur 
æ— 0, on aura une autre suite de signes qui présentera un 
nombre de permanences n'. 
Cela posé, le théorème de Hounes consiste en ce que l’équa- 
tion (1), savoir : 
Fix) — 0, 
a précisément autant de racines réelles ou imaginaires comprises 
entre a et b, qu'il y a d'unités dans la différence n—n', laquelle 
d’ailleurs ne peut jamais devenir négative. (Voir l'ouvrage de Fou- 
rier, Analyse des équations déterminées, livre H, pages 87 et sui- 
vantes.) 
Ce théorème entraine évidemment cette conséquence. C’est que 
toute racine réelle de la proposée, si, après avoir été augmentée 
. d’une quantité positive et infmiment petite w, on la substitue au 
lieu de x dans la suite (K), doit nécessairement produire une suite 
de signes renfermant un certain nombre de permanences qui 
sera particulier à cette racine, et qui variera nécessairement d’une 
racine à l'autre. Il résulte de là que ce nombre de permanences 
offre un caractère distinctif propre à distinguer chaque racine 
réelle de toutes les autres. Ainsi, c'est précisément d'après ce ca- 
ractère que nous distinguerons et rangerons entre elles les diffé- 
rentes racines de la proposée. En sorte que nous désignerons par 
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