SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 103 
racines imaginaires. Ils diffèrent pourtant entre eux en ce que, 
selon le premier mode d’arrangement, celui qui se fonde sur le 
théorème cité de Fourier, et que nous venons d'adopter, l'indice x, 
marquant l'ordre de la racine x;, dépend à la fois, soit du nombre 
des racines réelles qui précèdent la racine x;, comme étant plus 
petites que celle-ci, soit du nombre de celles des racines imagi- 
naires qui, d’après le théorème de Fourier, doivent aussi être 
censées précéder la même racine x;. Au contraire, si l’on range 
les racines de la proposée purement et simplement d’après que 
grandeurs, alors la suite résultant de cet arrangement ne peut ren- 
fermer que les racines réelles de la proposée, et l'indice t de 
l'ordre de la racme x; ne dépend que du nombre seul des racines 
réelles inférieures à cette même racine. Ainsi, l'indice le plus 
grand que pourrait acquérir une racine quelconque, serait jus- 
tement égal au nombre des racines réelles que renferme l’équa- 
tion proposée. Au reste, si dans la suite (R) on connaissait la na- 
ture de la racine que chaque terme représente, on pourrait for- 
mer sur-le-champ la suite composée des racines réelles, rangées 
dans l’ordre de leurs grandeurs respectives. Il suflirait, à cet effet, 
de supprimer dans la suite (R) tous les termes correspondants à 
des racines imaginaires, et de modifier ensuite les indices des 
termes restants, conformément à la place que ces termes se trou- 
veraient occuper, après la suppression indiquée tout à l'heure. On 
aurait ainsi une nouvelle suite, celle précisément qui résulterait 
de larrangement des racines réelles d’après leur ordre de gran- 
deur. 
Nous avons cru devoir entrer dans les détails précédents, pour 
montrer que le mode de distinction et d’arrangement des racines 
que nous avons adopté, quoique fondé sur une propriété des ra- 
cines qui, Jusqu'ici, n’est pas encore rangée au nombre des pro- 
priétés élémentaires, se rattache pourtant à une des premières 
notons des racines, celle de leur grandeur. Au reste, il s’applique 
aussi aux racines des diverses dérivées de la proposée. Ainsi, pour 
la première dérivée 
