SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 405 
Avant de venir à la question faisant l'objet principal de ce para- 
graphe, nous nous arrêterons encore ici à faire connaitre certaines 
formules par lesquelles les racines de la proposée sont liées à 
celles de ses diverses dérivées. Mais nous ferons, tout d’abord, 
deux remarques qui nous seront très-utiles pour nous rendre 
raison des formules que nous avons en vue d'établir. 
Première remarque. — La première remarque consiste en ce 
que, si dans la suite (K) on substitue, au lieu de x, une racine 
simple quelconque de la proposée (1), augmentée ou diminuée 
de w, par exemple x; + w, x; étant une racine simple, les deux 
fonctions . consécutives F'{x) et F(x) présentent nécessairement 
une permanence ou une variation, selon que l'on prend w avec le 
signe positif ou négatif. 
En effet, on à d’abord sensiblement 
(7) Pro) EF (x). 
Mais F’ (x) dans le voisinage de x — x; ne change pas de signe, 
car x; est une racine, par hypothèse, propre seulement à l’équa- 
üon F (x) — o. Par suite, eu égard à la dernière équation (7), 
on conclura que les signes des deux quantités F (x; + w) et 
F' (x; + w) présentent une permanence ou une variation, selon 
qu'on prend w avec le signe positif ou négatif. 
Deuxième remarque. — La seconde remarque que nous tenons 
à faire, c’est que toute valeur a qui, étant substituée dans les trois 
fonctions consécutives F+1(x), FW{x), Ft-1(x), faisant partie de 
la suite (K), rend la fonction intermédiaire F( (x) égale à zéro, et 
donne pour les deux autres deux résultats de même signe, est 
nécessairement l'indice de l'existence de deux racines imaginaires. 
Cette proposition est vraie, que a soit ou ne soit pas une ra- 
cine de la proposée. Mais nous nous bornerons à la démontrer 
pour le cas où a n’est pas racine de la proposée. Pour cela nous 
remarquerons, d’abord, que la suite de signes résultant de la 
suite (K), en y faisant x — a + w, renferme nécessairement deux 
permanences de plus que celle qui résulte en faisant dans la même 
