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suite (K) x — a — w. Car les trois fonctions F"+'{x), F'(x), 
F1 (x), par la remarque précédente, et en vertu de hypothèse que 
nous venons de faire, offrent deux permanences pour & — a +09, 
et deux variations pour &æ — a — w. De plus, les autres fonctions 
composant la suite (K) conservent chacune le même signe, pour 
toutes deux ces dernières valeurs de x. 
De là on conclura, eu égard au théorème de Fourier, que la 
proposée devra avoir deux racines réelles ou imaginaires, entre 
les limites infiniment resserrées à == à — w et x —= a +- 0. Mais 
il est essentiel d'ajouter qu'il ne peut rester aucun doute que ces 
deux racines soient imaginaires. Car, si elles étaient réelles, elles 
devraient évidemment être toutes deux égales à a, et par suite, a 
devrait rendre zéro F(x) et F’{x), ce qui est contraire à notre 
hypothèse. 
TaéorëME 1. — Supposons toutes trois réelles les racines #;, 
x, et al, dont la première est, d’après la notation adoptée, 
celle de l'ordre r de la proposée, et les deux autrès sont celles 
des ordres i — n et i de l’équation dérivée de l'ordre n (6). Ces 
trois racines seront toujours liées entre elles par l'équation sui- 
vante : 
(8) De ML ae) 
Pin i 
en observant que par la notation M (p..q), nous entendons tou- 
jours, comme au S IL, une moyenne quelconque entre les quan- 
utés réelles p et q. 
Pour faire voir la vérité de cette formule (8), il suffit de dé- 
montrer que la suite (K), pour x — x!) +-w, présente un nombre 
de permanences toujours égal ou supérieur à ?, et pour 2 — 
1), + w, elle en présente un nombre toujours inférieur à i. Or, la 
première partie de cette proposition est évidente, par cela même 
que x!) est la racine de l’ordre à de la n°" dérivée (6). Quant à 
la seconde partie, nous la démontrerons ainsi qu'il suit. Suppo- 
sons, pour un moment, qu'en faisant x — xl), +-«w dans la 
ip 
suite (K), il en résulte une suite de signes renfermant 7 perma- 
