SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 407 
nences. Alors nous observons d’abord que la partie de la suite (K), 
composée des fonctions 
(9) Fm (x), Fm (x)... Ft (x), F'(x), 
présentera nécessairement i— n permanences pour 4— x"), + «, 
à cause de ce que x!), est, par hypothèse, la racine de l’ordre 
i— n de la dérivée n°" (6). Il résulte de là que la suite entière 
(K), pour la même valeur æ— x, + w, ne peut présenter 
une suite de signes renfermant à permanences, qu'autant que la 
partie de la suite (K), composée des n + 1 fonctions suivantes 
(10) Fear (hot (oJoasl'ale) (x) {x}, 
ième 
présentera, pour la valeur de x en question, n permanences. Or, 
ce dernier cas est impossible. Car alors ces dernières fonctions, 
pour æ — a), + w, devraient acquérir toutes le même signe. 
D'ailleurs, pour cette mème valeur de x, F"+{x) et F" (x) seront. 
elles aussi, affectées de signe semblable, en vertu de la première 
des deux remarques faites plus haut. Ainsi, les trois fonctions 
F1 (x), F(x), F2 (x) offriraient, nécessairement, deux per- 
manences pour la dernière valeur de x signalée tout à l'heure. 
Mais la fonction F" (x) change de signe, lorsque de la valeur 
æ— a", + « on passe à x — 1"), — w. Il résulte de là que 
les trois fonctions ci-dessus, F"+1 (x), F" (x), F1 (x) présente- 
raient deux variations pour la dernière valeur x — 2), — % : 
en sorte que, pour cette valeur de x, la suite entière n'offrirait 
plus, en conséquence, que i — » permanences. Par suite, eu égard 
à la seconde remarque faite plus haut, la proposée aurait deux 
racines imaginaires, ou, suivant le langage de Fourier, déficientes, 
entre les limites infiniment resserrées, entre elles, æ — x!), + « 
etæ—4"), — w. De plus, lune de ces deux racines serait pré- 
cisément celle de l'ordre , savoir +; : ce qui est contraire à l’hy- 
pothèse établie que la racine x; soit réelle. 
Le théorème 1, que nous venons de démontrer, a son réci- 
proque, que nous allons énoncer de la manière suivante : 
