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TuéorÈmE 2. — Soient toutes trois réelles les racines x;, æ;,,, 
et x!, dont les deux premières sont celles des ordres ? et i+n 
de la proposée, et la troisième est celle de l’ordre à de la n°" dé- 
rivée. On aura 
(11) CDN M AE 
Pour démontrer ce théorème, considérons en particulier la 
formule 
(12) a Music) 
qu'on tire de la formule générale (11) en y faisant n — 2. 
Le raisonnement que nous emploierons à cet égard sera tel, 
qu'on pourra l'appliquer à toute autre formule du même genre. 
La question se réduit à faire voir que la partie de la suite (K) 
comprenant les fonctions suivantes au nombre de m — 1, 
(GLS À Dee Qu SUN Cu AS LS CSC Co DC CNT 
doit nécessairement présenter un nombre de permanences égal ou 
supérieur à 1, où bien un nombre de permanences inférieur à 6, 
selon qu'on fait + —x;., +4 w, ou bien x — +; + w. Supposons, 
d'abord, que l’on fasse 3— x;,, + w. Alors la suite entière (K) 
devra nécessairement offrir à + 2 permanences, car x;., est la 
racime i + 2 de la proposée. De là, en observant que les trois 
fonctions (x), F'{x) et F (x) ne peuvent offrir, au plus, que 
deux permanences, on en conclura que la partie (13) de la suite 
(K) rapportée ci-dessus offrira, certainement, un nombre de per- 
manences égal au moins à à. 
Soit, maintenant, æ — 2; + w. Dans cette hypothèse, il est 
évident que la suite entière (K) présentera justement à perma- 
nences, car 2; est la racine de l'ordre t de la proposée. D'ailleurs, 
dans ce cas, les deux fonctions F'{x) et F (x), en vertu de la pre- 
mière des deux remarques établies plus haut, donnent deux ré- 
sultats de même signe, savoir une permanence. Il faut donc con- 
