SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 109 
clure que la partie (13) ci-dessus de la suite (K), pour x=— x; + w, 
ne peut présenter, au plus, que i— 1 permanences. 
Nous ajouterons aux deux théorèmes 1 et 2, que nous venons 
d'établir, les remarques suivantes: . 
1° Les trois conditions du théorème 2, à savoir que les trois 
racines %;, &;4, et x!) soient réelles, peuvent avoir lieu, chacune 
indépendamment des autres, tant que l'indice n n’est pas égal à 1. 
Mais si l’on avait a — 1, ce qui revient à comparer les racines de 
la proposée à celles de la première dérivée, la réalité des deux 
racines +, et &;,, entraînerait nécessairement, d'après le théorème 
de Rolle, celle de la racine x. En sorte que pour n—1, on peut 
dire que le théorème Il subsiste, rigoureusement parlant, sous 
ces deux conditions seules, que les deux racines x; et x;,, soient 
toutes deux réelles. 
2° Les deux formules (8) et (11) peuvent être remplacées par 
d’autres plus générales encore, savoir la formule (8) par 
(14) a M (a af), 
et la formule (11) par la suivante : 
Hé a+) M (9: -a0),). 
Pour se convaincre de la vérité de ces deux formules, il suffit de 
regarder la dérivée (6) de l'ordre n comme une équation princi- 
pale. Alors la dérivée de l'ordre p +n 
(1 Fun (a) 
de la proposée, deviendra’ celle de l’ordre p de l'équation (6), et 
par suite, les deux formules (8) et (11) entraimeront les deux ci- 
dessus (14) et (15). p 
3° Si l’on suppose que les racines de la proposée soient toutes 
réelles, alors les deux formules (8) et (11) deviennent une suite 
nécessaire du théorème connu de Rolle. En effet, d'après ce théo- 
rème, on a d'abord 
(17) de M (ais 
SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 52 
