SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 411 
querrait un indice moindre que zéro, elle devra être remplacée 
par l'infini négatif. De même, lorsque l'une de ces racines. par 
exemple x:,,, acquerrait un indice supérieur à 1, elle devra être 
remplacée par l'infini positif. 
A l’aide des deux théorèmes précédents, nous en allons établir 
un troisième, dont nous ferons un usage important en son lieu. 
THÉORÈME 3. — Soient les deux équations algébriques 
(25) N—10: et Y — 0; 
dont l’une est du degré m, et'a pour inconnue x; et l’autre est 
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du degré m', et a pour son inconnue y. 
Supposons que la dérivée n°" 
(26) XV —=,0 
de la première de ces équations, soit la même que la dérivée n'°" 
(27) Y°= 0 
de l’autre, En sorte qu'on ait identiquement 
(28) | XO— ym, 
après avoir préalablement changé y en x dans le second membre 
de cette dernière équation. 
Les racines des deux équations proposées (2 b) seront liées entre 
elles par les formules suivantes : 
(29) Li — M (een . 1Yipur) 
(30) Yi —M Eee * Din) 
dont la seconde se déduit de la première en y échangeant entre 
elles y et x, ainsi que n et n’. 
Il va sans dire que ces deux formules ne subsistent qu'autant 
que, pour la première, x;, Vin Yisn SOnt trois racines réelles; et 
pour la seconde, Ji Ti-w et di,, Sont aussi trois racines réelles. 
Il est bien entendu que y; est la racine de l'ordre i de la seconde 
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