SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 413 
dice i— n de la racine y;_, devenait inférieur à l'unité, ou celui 
de y:,, devenait supérieur à m', degré de la seconde des équa- 
tions (25); alors la racine y;_, devra être remplacée par l'infini 
négatif, et l'autre y;,, par l'infini positif. 
Même conclusion pour les deux racines x;_,, et x;,,. 
Venons maintenant à la question qui forme l’objet principal de 
ce paragraphe, celle de déterminer l’ordre qui convient à la ra- 
cine @, que représente la série de Lagrange, lorsqu'elle est appli- 
quée à une équation algébrique quelconque, réduite préalable- 
ment à la forme (2), de quelque manière que ce soit, 
La règle à suivre pour cet objet est la suivante. 
Règle pour reconnaitre l'ordre de la racine &. — Cherchons le 
nombre des permanences que renferme la suite (K) lorsqu'on y 
fait x — u. Soit p ce nombre. L'indice de l’ordre de la racine « 
sera toujours supérieur à p, si l'on a f (u) = o; et il sera tou- 
jours égal ou inférieur à p, si lon a f(u) 0. Il y a plus. Si la 
proposée a ses racines toutes réelles, alors l'indice de l'ordre de 
la racine & sera toujours justement égal à p + 1 ou à p, selon 
que l'on a f (u) => ou Lo. 
Cette règle découle du théorème 3 (S I) d’une manière trop 
évidente pour qu'il soit nécessaire de nous arrêter ici à la démon- 
trer. Nous aimons mieux faire remarquer une conséquence impor- 
tante qui en résulte, et qui est analogue au théorème 4 du S Il. 
C'est que l’ordre de la racme & est un nombre entièrement dé- 
pendant de la valeur du terme x, de sorte qu'en faisant croître 
indéfiniment cette quantité, le même ordre est réduit à croître 
jusqu’à devenir quelquefois le plus élevé de tous les ordres des 
racines de la proposée. 
Aussi la règle précédente fournit-elle une nouvelle preuve de 
Pmexactitude du théorème de Lagrange que nous avons examiné 
au paragraphe précédent. 
Au reste, cette règle est remarquable en ce qu’elle nous fait 
connaître, soit exactement, soit dans certaines limites, l’ordre de 
la racine &, sans aucune connaissance préalable sur la nature et 
