SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 415 
traire aura lieu si 1 — f (— co) est une quantité négative : savoir 
l’ordre de la racme & sera alors t, si test pair, et i — 1 où à +1 
si à est impair. 
Nous commençons par démontrer la première partie de ce théo- 
rème, celle par laquelle on affirme que l’ordre de la racine & est 
le même pour toutes les valeurs de 4 composant le système de 
convergence dont les limites renferment la quantité u;. Nous nous 
appuierons à cet effet sur le théorème suivant de M. Cauchy. 
Lorsque les différents termes d’une série sont des fonctions 
d’une même variable u continues par rapport à cette variable, dans 
le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle la série est 
convergente, la somme de la série est aussi dans le voisinage de 
cette valeur particulière, fonction continue de u. (Voir Cours d’a- 
nalyse algébrique, par M. Cauchy, chap. vi, SI, p.131 et suiv.) 
Nous ferons observer, avanttout, que les valeurs de a composant 
le système de convergence ci-dessus indiqué, rangées dans l’ordre 
de leurs grandeurs, formeront une suite de termes tels, que l'un 
d’eux quelconque différera infiniment peu, soit de celui qui le 
précède, soit de celui qui le suit. Dès lors, supposons, pour un 
instant, que U étant une de ces valeurs de u, la série S (1) donne, 
pour u — UÜ, la racine de l’ordre p, savoir z,, et pour la valeur 
consécutive u — U.+- À (h étant infiniment petit), celle de l'ordre 
g, savoir x,. Il en résulterait que la série S (1) cesserait d’être 
continue dans le voisinage de à —U, comme nous allons le faire 
voir. 
D'abord, eu égard à ce que la première dérivée {4) a, par hy- 
pothèse, ses racines toutes réelles, on tirera de la formule (8), 
relative au théorème 1, 
(38) 2, —=M(s,,..2,) 2 —M(r,..!). 
Or.ces deux dernières formules montrent que les deux racines x, 
et x, pour une même valeur de u, diffèrent toujours l’une de 
l’autre d’une quantité finie, à moins qu’elles ne soient égales entre 
elles, auquel cas on aurait g—=p + 1, et la valeur commune des 
