A16 RECHERCHES 
deux racines serait x’. Mais pour u — U, ce cas est impossible; 
car il est contraire pré principe par lequel la racine donnée par la 
série S (1) est toujours une racine simple pour toute valeur d’un 
paramètre quelconque comprise entre les deux limites de conver- 
gence de la même série, comme nous l'avons remarqué à l’occa- 
sion du théorème 1 du $ IL Il est donc certain que les deux ra- 
cines x, et x, pour la valeur u — U, diffèrent entre elles d'une 
quantité finie. Mais, d’un autre côté, il est évident que la valeur 
de &, correspondante à u — Ü + h, est sensiblement égale à 
sé qu'elle acquiert pour u = U. On conclut de là que les deux 
valeurs qu'acquièrent les deux racines ï, tx, l'une x,pouru—U, 
et l’autre x, pour u—U+h, diffèrent aussi nécessairement entre 
elles d’une quantité finie. Par suite, si la série S (1), pour u = Ù, 
donnait la racine x,, et pour u —UÙ + h la racine x,, elle cesse- 
rait évidemment d’être continue dans le voismage de u = U. Ce 
qui est en parfaite contradiction avec le théorème de M. Cauchy, 
ci-dessus cité. 
La première partie du théorème A est, par là, démontrée, et 
il sera, par suite, facile d’en démontrer. la seconde. Supposons, 
en effet, que ce soit x, la racine donnée par la série S (1), p sera, 
d'après ce qui précède, un nombre constant pour toutes les va- 
leurs de u composant le système de convergence dont il est ques- 
tion. Partant, tout se réduit à chercher la valeur de cet indice p, 
correspondante à une des valeurs de u appartenant au système 
de convergence indiqué tout à l'heure. Nous choisirons, à cet 
effet, la valeur particulière n = u;. Dans ce cas, la série S (1) se 
réduisant à son propre terme, on voit, sans peine, que la racine 
De devient égale à u;. D'ailleurs, remarquons que f (x) étant, par 
hypothèse, une fonction entière de x, l'équation (36) a sa dérivée 
du second ordre commune avec la proposée (1). Par suite, la for- 
mule (29), en y faisant n = n — 2, et remplaçant y par u, nous 
donnera 
(39) or Miui::. ut), 
