SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 417 
Ti, U;, et ü;,, étant la racine de l'ordre i de la proposée (1), et 
les racines des ordres i — 2 et i + 2 de l'équation (36). 
Or cette dernière formule, en y changeant successivement 
ED 201, + y et 1-2 nous en fournit quatre autres, 
dont la considération nous met à même de conclure que l'indice 
p de la racine æ, ne peut-être que l’un de ceux-ci, i —} ,tetit1, 
En effet, si P pouvait être inférieur à à -—1 » par exemple égal à 
1 — 2, alors la racine à serait di; et comme la série de Lagrange 
est croissante avec le paramètre u ($ Il), il s’ensuivrait que, pour 
des valeurs de x supérieures à u;, la racine 2, deviendrait plus 
grande Que u; : ce qui est contraire à la formule 
(40) Ga —M{u;. .u), 
qu'on déduit de la précédente (39) en y changeant à en à — 2. 
De même, si P pouvait devenir égal à 12, en sorte que æ 
fût la racine Li++, 1l en résulterait que, pour des valeurs de x in- 
férieures à u;, la racine Zi+, deviendrait plus petite que u; : ce qui 
p'us pet Ï 
4 1 
répugne à la formule 
(41) Lits = M (u;. Ua), 
qu'on tire de la formule (39) en y changeant à en i + 2. 
La seconde partie du théorème 4 est donc démontrée. En ce 
qui concerne la troisième partie du même théorème, il faut d’abord 
remarquer qu’en vertu de l'hypothèse faite, que les racines de la 
première dérivée (4) soient toutes réelles, les propriétés générales 
des diverses racines de la proposée, que nous avons signalées au 
S Il!, d’après le mode d’arrangement des racines y adopté, con- 
viennent encore toutes, ainsi que leurs corollaires, aux racines de 
la proposée, rangées et distinguées entre elles de la manicre adop- 
tée dans le présent paragraphe. Ceci admis, et eu égard encore à 
la propriété de la série de Lagrange, d’être toujours croissante par 
rapport au paramètre u, on se convaincra parfaitement de la vérité 
de la troisième partie du théorème 4. 
© P. 364 et suivantes. 
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SAVANTS ÉTRANGERS. AIT, 
