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Ce théorème entraine quelques conséquences qu'il est impor- 
tant de signaler. 
1° Rappelons-nous, d’abord, ce qui a déjà été soigneusement 
remarqué (note au $ 1), à savoir que le système de convergence, 
par rapport à u de la série S (1), et caractérisé par ce que ses 
limites / et l'comprennent la valeur à — u;, peut quelquefois être 
tel, que ses limites / et l', outre la valeur u = u;, comprennent 
encore &;,;, 43... Ces quantités exprimant les racines consécu- 
tives à u; de l'équation (36). Or, nous pouvons, à l'aide du théo- 
rème précédent, entrer à cet égard dans quelques détails inté- 
ressants. 
D'abord, supposons que les limites / et ! du système de con- 
vergence dont il s’agit comprennent les deux racines u; et u;... 
Alors, en vertu du théorème précédent, la racine & donnée par la 
série S (1), en supposant que lon ait 1 fo (— D)> O, serait 
1°, à ne considérer que la quantité u;, la racine x; si 1 est impair, 
et x, ou bien x;., si à est pair; 2° à ne considérer que la quan- 
tité u,,,, la racme x; ou #;,, si à est impair, et æ&;,, si à est pair. 
Or, pour que ces résultats s'accordent entre eux, il faut conclure 
que, dans le cas actuel, la racine & ne peut être que x; si 1 est 
impair, et æ,, si à est pair. Si, au contraire, on admet que lon 
ait 1— f(—co)<o, par un raisonnement analogue au précé- 
dent, on conclura que la racine & ne peut être, de que æ: sit 
est pair , et æ;,, sic est impair. Ainsi soit l'équation 
(4e) u—x+(o;r)a (x — 5) (x — 6) (x — 6,1) — 0. 
Nous avons déjà reconnu, au $ IL, que sa première dérivée a ses 
racines toutes réelles. D'ailleurs, en la comparant à la formule (2), 
on obtiendra 
(45) f(x) = 0,1 2 (x — 5) (x — 6) (x — 6,1); 
en sorte que l'équation (36) a, elle aussi, ses racines toutes réelles, 
qui sont 
(44) D OU O 0 0 10 10 1 
