SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 419 
En outre, attendu que les deux racines égales à 6 et 6,1 sont 
_ très-rapprochées entre elles, et que l'on a 
(45) fe (6) = — 0,36, et f'(6,1)— + 0,40931, 
il résulte du théorème (A) du $ I que la série S (1), déduite de 
l'équation (42), jouira d'un système de convergence dont les li- 
mites / et l' renfermeront les quantités u, — 6 et u, — 6,1. Par 
suite, eu égard encore à ce qu'on a ici 1 — f (— oo) 0, on 
conclura que, pour toute valeur de u comprise entre 6 et 6,1, 
par exemple pour u — 6,05, la série S (1) donnera toujours la 
racine du quatrième ordre de la proposée, savoir x, : ce qui s’ac- 
corde avec les résultats obtenus à cet égard au $ HE. 
! 
Soit encore donnée l'équation 
(46) ; u—zx—(0,1)a (x — 5} —0, 
dont la première dérivée a ses racines toutes réelles ($ Il), et qui, 
comparée à la formule (2), nous donne 
(7) f(&)= 2 (où) (2 — 5}, 
en sorte que l'équation (36) devient ici une équation du quatrième 
degré, dont les quatre racines sont toutes réelles et ont les valeurs 
suivantes : 
(48) UN OUR OO UNE 0. 
La série de Lagrange, appliquée à l'équation proposée (46), ne 
manquera pas de jouir de deux systèmes de convergence par rap- 
port à u, tels que les limites de lun comprennent, entre elles, 
les deux racines u, et u, égales entre elles, et égales à zéro, et les 
limites de l’autre, les deux autres racines u, et u, égales aussi entre 
elles, et ayant pour valeur commune 5. Or, d’après ce que nous 
avons établi précédemment, et eu égard à ce qu'on a encore 
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