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on conclura que la série S (1), pour toute valeur de u appartenant 
à la première période, donnera constamment la racine du second 
ordre, savoir x,, et pour toute valeur de « appartenant à la seconde 
période, donnera constamment x,, savoir la racine la plus grande. 
Supposons, maintenant, que les deux limites let l'comprennent, 
entre elles, les trois racines consécutives de l'équation (36), ;, 
üi, 2 Alors les résultats qu'on en déduirait, comme consé- 
quences nécessaires du théorème 4, pourraient encore s’accorder 
entre eux sous certaines restrictions qu'il est bien facile de de- 
terminer, Mais si, en poussant plus loin ces suppositions, nous 
admettons que les mêmes limites comprennent, entre elles, plus 
de trois racines consécutives de léquation (36), on se convaincra 
sans peine que le théorème 4 entrainerait des résultats contra- 
dictoires entre eux. Nous tirons de là ce théorème. 
TuéorèmE 5. — Si l'équation algébrique (1), savoir F (x) — 0, 
est telle que sa première dérivée (4), savoir F' (x) — 0, ait ses 
racines toutes réelles; si, en outre, on ramène la proposée (1) à 
la forme (2), u — x + f (x) — 0, en sorte que f(x) soit une 
fonction entière de x; il est impossible que la série S (1), tirée 
de l'équation proposée, puisse acquérir un système de conver- 
gence composé de valeurs du paramètre u, renfermées entre 
deux limites / et l’ qui comprennent entre elles plus de trois 
racines consécutives! de l’équation (36), savoir f (x) — 0. 
Ce dernier théorème nous fait connaître une propriété dont 
jouit la fonction f (x) qui entre dans l'équation réduite (2), lorsque 
la première dérivée de la proposée a ses racines toutes réelles. 
C'est que f(x), en lastreignant toujours à être une fonction en- 
tière de +, ne pourra jamais acquérir un facteur réel de la forme 
! Peut-être est1l bon d’avertir que les racines consécutives y mentionnées ne 
sont point astreintes à être toutes réelles. En d’autres termes, la conclusion de ce 
théorème peut être ainsi énoncée: 
La série S (1) ne pourra jamais acquérir un système de convergence par rapport 
a u, dont les limites u — l et u — l! renferment, entre elles, deux racines u, et 
üixp de l'équation (36), telles que leurs indices teti+p différent entre eux de 
plus de deux unités. 
