SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 421 
x— a, élevé à une puissance dont l’exposant soit supérieur à 3. 
Car si l'on avait, par exemple 
(49) f{æ)=(z— a) Y (x), 
Ÿ (x) étant une autre fonction entière de x, alors, eu égard au 
théorème (A) du $ I, la série S (1), en vertu de la dernière valeur 
de f (x), serait nécessairement convergente pour u — a, où pour u 
pris dans le voisinage de a. D'ailleurs a étant, par hypothèse, une 
racme multiple dont le degré de gnultiplicité est égal à 4, on en 
conclurait que le système de convergence composé des valeurs 
de a situées dans le voisinage de a comprendrait quatre racines 
consécutives de l'équation (36). Ce qui est contraire au théorème 5 
établi ci-dessus. 
Au reste, ce n'est pas que la propriété précédente de f (x) ne 
puisse être démontrée autrement qu'avec le secours des théorèmes 
h et 5. Mais elle a été choisie comme exemple propre à démon- 
trer le parti qu’on peut tirer des théorèmes indiqués tout à l'heure 
pour découvrir les propriétés des racines des équations algé- 
briques. Ajoutons qu’elle peut encore être confirmée à l’aide de la 
formule (29) relative au théorème 3, ainsi qu’on va le voir. 
Supposons que l'équation (36) ait une racine quadruple telle 
qu'on ait uw — ui, ui; Uu.,; et soit a la valeur commune 
de ces quatre racines. D'abord, nous disons que la première 
dérivée de la proposée (1) devrait avoir une racine égale à u; — 4. 
En effet, cette équation et celle (36) offrent un couple de deux 
équations telles que la première dérivée de la première d’entre 
elles est en même temps la seconde dérivée de l’autre. Par suite, 
x’; étant la racine de l’ordre : de l'équation (4), on aura par la 
formule (29), en y changeant x en x’, y en u, et en faisant r — 1, 
! 
n — 2. 
(50) Ti M (u;...u;.,), 
d’où il vient 
(51) RERREM (ani 
