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De cette dernière formule, et eu égard à ce que, par hypothèse, 
la racine x;,, est réelle, et que lonau;—u;,, —u;,,—u;,,, on 
conclura que la racme x',, ne peut acquérir autre valeur que u;. 
On aura donc l'équation 
(59) Fia)=0o, 
laquelle entraine cette autre, 
(53) 1— fu) — 0, 
ou, ce qui est la même chose, 
(54) ACT 
Or, ce dernier résultat est contraire à l'hypothèse que u; soit une 
racme multiple de l'équation (36). Car cette hypothèse entraîne 
la condition 
(55) T(u}==\o. 
Nous ne pousserons pas plus loin les conséquences du théo- 
rème 4. Mais, en terminant, nous remarquerons que lorsqu'on 
propose une équation sous la forme (2), et telle qu’en y appliquant 
la série S (1), celle-ci acquiert un système de convergence COM- 
posé de valeurs de u, parmi lesquelles se trouvent deux racines 
de l'équation (36), dont les indices différent entre eux de plus de 
deux unités, on sera par là assuré que la proposée et sa première 
dérivée ont des racines imaginaires. Ainsi, soit, par exemple, 
(56) u—x-+h(x—a,)(x — a,)(x—a;).. (x —a») —0, 
di, &, 4,....4m étant des quantités réelles quelconques, rangées 
dans leur ordre de grandeur. 
[est évident qu’en y appliquant la série de Lagrange S (1), on 
obüendra, en prenant À assez petit, une série qui jouira certaine- 
ment de systèmes de convergence par rapport au paramètre variable 
