SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 493 
u, dont les limites / et l’ comprendront, entre elles, plus de trois 
des quantités indiquées ci-dessus : 
di, ds As.  Am- 
Nous conclurons de là que l'équation (56) et sa première dérivée, 
en prenant assez petit, finiront par acquérir nécessairement des 
racines imaginaires. Cette conclusion peut, d’ailleurs, se confir- 
mer par les principes ordinaires de l'algèbre. 
SECOND MÉMOIRE. 
Dans ce mémoire, j'envisage la série de Lagrange sous le rap- 
port de sa convergence. Après les résultats très-décisifs obtenus 
par l’illustre Cauchy sur la convergence des séries en général, et 
en particulier sur celle de la série de Lagrange, on s’étonnera, 
au premier abord, que j'aie eu le dessein de faire de ce point 
l'objet principal de ce mémoire. Aussi me hâterai-je de dire quel 
a été le motif qui m'a engagé à traiter ce sujet. 
Lagrange, au $ IV de son mémoire de l'Académie de Berlin 
pour lannée 1768, intitulé : Nouvelle méthode pour résoudre les 
équations littérales au moyen des séries, a donné une règle pour dé- 
terminer la condition de convergence de sa série, en supposant 
que son terme général ait une valeur réelle quelconque. Mais en 
examinant attentivement cette règle, j'ai reconnu qu’elle n’était 
exacte qu'autant que le terme général de la série remplit cer- 
taines conditions que j'ai signalées dans le cours de ce mémoire 
(voir $ Il). Je me suis de plus aperçu que, lorsque ces conditions 
sont remplies, la règle de Lagrange mentionnée, non-seulement 
e$t vraie, mais elle peut encore se transformer en une autre jJouis- 
sant d’un énoncé très-simple, et qui dépend, en définitive, du 
minimum d’une fonction d’une seule variable. La nouvelle règle 
dont je viens de parler, lorsqu'elle a lieu, offre encore l'avantage 
* Présenté à l'Académie des sciences le 14 juin 1847. 
