SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 435 
et désignant par / la somme i + k, on tire de l'équation (3), 
dti[r (b)} 
(6) val Qume 
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le signe È ayant toujours la même signification que précédem- 
ment. 
Pour que la somme comprise dans le second membre de l’équa- 
tion (6) soit comparable à celle considérée dans le lemme (A), il 
faut qu'elle se compose de termes tous positifs. Or, pour cela, les 
conditions nécessaires et sufhisantes se réduisent d’abord aux deux 
suivantes : 
1° Que les différents termes du polynôme qui représente le 
développement de 7 ({) soient tous affectés du même signe; 
2° Que le produit u (u —1) (u — 2),...(u—1+#1) soit lui- 
même toujours affecté du même signe, pour toute valeur de u 
tirée de l’équation (5). 
Examimons dans quels cas cette dernière condition sera remplie. 
Ï faudra d’abord que les facteurs u;u —1,u—92...u—1l—+1, 
demeurent tous affectés du même signe, ou bien que le nombre 
des facteurs négatifs reste toujours de la même parité pour toute 
valeur de u tirée de l'équation (5). Mais on voit sans peine qu'en 
supposant pour un moment que, parmi les facteurs en question, 
il y en ait de positifs et de négatifs, il est impossible que le 
nombre des facteurs négatifs soit toujours de la même parité, 
quelle que soit la valeur de u tirée de l'équation (5). H faut amsi 
tâcher de rendre les facteurs u, u — 1... tous de même signe. 
Or ceci peut avoir lieu en deux cas différents : 1° en prenant les 
exposants a, b, c... négatifs, leurs valeurs numériques étant 
d’ailleurs quelconques, hypothèse qui entraîne pour u des valeurs 
toutes négatives en vertu des équations (4) et (5); et par suite les 
facteurs u, u —1,u—2...u— [+ 1, deviendront eux-mêmes 
tous négatifs; 2° en prenant les exposants a, b, c... tous positifs, 
SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 55 
