138 RECHERCHES 
Telle est l'équation qu’en dernière analyse il faudra résoudre, et 
dont la discussion va nous faire connaître si N a effectivement des 
maxima, et sil en atun seul. On remarquera d’abord que v devant 
satisfaire , non-seulement à l'équation (17), mais aussi à ‘équation 
(9); eu égard aux hypothèses faites sur les exposants a, D, c..., 
sa valeur devra toujours être de la nature que nous allons signaler. 
Si ces exposants sont positifs, v ne pourra être que positif, et 
compris entre les limites a et À, a étant l'exposant le plus petit, 
et h l'exposant le plus grand, ou bien entre les limites 1 et h, si 
l'exposant a est nul, les autres étant tous entiers. Car dans ce der- 
nier cas la somme X, qui représente le second membre de l’équa- 
tion (6), se réduit à la somme des termes seuls, qui correspondent 
à u >> l — 1. Si les exposants a, b, c... sont négatifs, v ne 
pourra avoir qu'une valeur négative, laquelle sera, de plus, tou- 
Jours comprise entre l’exposant négatif le plus petit, et l’exposant 
négatif le plus grand. Or l'équation (17) a toujours une racine v 
qui satisfait aux conditions que nous venons de mentionner. Car 
le premier membre de cette équation change évidemment de signe 
quand de la valeur  — a on passe à la valeur v — À. On voit, 
en outre, que dans le cas où a se réduit à zéro, les autres expo- 
sants étant tous entiers, la même équation (17) se réduit à la sui- 
vante : . 
— Av B (60) (2) Cf) oo; 
laquelle, à cause de ce que son premier membre change de signe 
lorsqu'on passe de v — 1 + w, àv—h, w étant positif et très- 
petit, et À étant toujours l’exposant le plus grand, a une racine 
positive comprise entre les limites v — 1, v — . J'ajoute que lé- 
quation (17) n’a jamais qu'une seule racine comprise entre l’expo- 
sant le plus petit a, et exposant le plus grand À, ou bien entre 
les limites 1 et À, si l'exposant a est nul. Il suffira de démontrer 
cette proposition par rapport au cas des exposants positifs. Car une 
marche analogue s'applique aux cas des exposants négatifs. 
