SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 439 
Pour cela, écrivons l'équation (17) sous la forme suivante : 
(18) Aev() +Bév() + cr (+. 
ae (2) 6Bé (EE) ete... 0. 
En observant que le nombre des termes affectés du signe + est 
égal à celui des termes affectés du signe —, soit X la somme des 
premiers, et Ÿ la somme des seconds; l'équation RCE se 
réduira à 
NE 0: 
Cela posé, soit & une racine positive de cette équation, je dis 
qu'elle n’en aura pas d’autres positives. Pour le prouver, suppo- 
sons, pour fixer les idées, que & soit compris entre b et c, en 
sorte qu'on ait 
D AE le AO 
En comparant entre eux deux à deux les termes correspondants 
des deux sommes X et Ÿ, on aura évidemment 
} 
: ) << E re(=).. 
da—1 
(19) Afa a (= j'= At a }, Bi (— ) Bee 
car x —b— a; et l’on aura encore 
(20) Céa(=) Ge (= Eta( 
car l’on a 
D'OISE 
. 
Or supposons, pour un moment, que l'équation (18) ait plu- 
sieurs racines positives. Alors nous pouvons concevoir que æ soit 
la plus petite. Dans cette hypothèse, comme pour v << «, le pre- 
mier membre de l'équation (18) est négatif, pour des valeurs im- 
médiatement supérieures à æ, ce premier membre deviendra évi- 
demment positif, et l'on peut ajouter qu'il restera toujours positif 
