SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 457 
est convergente ou divergente, selon que le module maximum 
(t+ x) 
maximorum de = — est inférieur ou supérieur à l'unité. 
Cette règle, comme on le voit, est générale, ou, autrement" 
dit, elle est vraie, quelle que soit la fonction 7 (1). À ce titre, 
elle doit être regardée comme un résultat analytique de la plus 
haute importance par rapport à la série de Lagrange. Mais si nous 
nous bornons aux cas où 7 (t) est de nature à remplir les condi- 
tions indiquées au $ IT, conditions nécessaires pour lapplication 
de la règle (C), que nous avons exposée plus haut; alors celle-c1, 
étant comparée à celle de M. Cauchy rapportée tout à l'heure, 
offre une simplification de cette dernière, comme nous allons le 
faire voir. : : 
En jetant les yeux sur le tableau des opérations sur lesquelles 
reposent les deux règles, on reconnait que ces opérations sont les 
mêmes, avec cette différence que, d’après la règle de M. Cauchy, 
il faut, à la rigueur, considérer toutes les racines de l'équation (17), 
qui rendent négative la partie réelle de l'expression (20), et choisir 
celle d’entre elles qui donne au module de sie la valeur la 
plus grande. D'après notre règle, au contraire, la racine de l'é- 
quation (17), convenable à la question, se reconnait à un carac- 
tère bien autrement plus facile et commode, car elle est précisé- 
ment l'unique racine réelle de la même équation (17), qui se 
trouve comprise entre les limites 
t t 
L—= —, TX —= —, 
hk—1 a—1 
si a => où 0, ou bien 
si a se réduit à zéro. 
D'ailleurs, en se rappelant que cette racine jouit de la propriété 
de rendre positive la valeur de l'expression (18), on voit qu’elle 
rendra, par suite, négative la valeur de l'expression (20). D’après 
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