SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. A61 
(17), aura nécessairement m — 1 racines positives el une racine 
négative, ou bien m — 1 racines négatives et une racine positive, 
selon que celles de l'équation (22) serontsou toutes positives, ou 
toutes négatives. D'autre part, on sat, d'après la théorie des 
maxima et des minima, que la racine négative ou positive de l'e- 
quation précédente est la seule de toutes ses racines qui rendra 
positive la quantité 
. 
1 dy ay m'(t+x) 
y de à m(t+x) 
Elle sera donc aussi la seule qui rendra négative l'expression (20), 
et l’on en conclyra, d’après la règle de M. Cauchy, qu'elle sera 
la racine correspondante du module cherché de la série. 
Cela posé, venons à la proposition que nous avons en vue de 
démontrer. 
En développant 7 (1x) selon les puissances de x, on à 
mie) = 70 + 7 (it) + 7 (1) À + ete. 
en sorte que, dans ce développement, les coefficients des diverses 
puissances de x, pris dans l’ordre où ils se succèdent, seront ou 
tous de même signe, ou alternativement positifs et négatifs, selon 
que les racines de l'équation (22) seront, par hypothèse, ou né- 
gatives ou positives. De là, eu égard au lemme précédent, il ré” 
sulte que le développement de 7° (1+-x); savoir : 
mt) 7 (im (hr tr" (1) = +... 
1.2 
pour la valeur de x correspondante au module R de la série, se 
composera nécessairement de termes tous positifs. 
On aura donc 
R=7T{(t+x) 1, 
et, par suite, la série sera divergente si æ' (t) = 1. 
