SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 465 
Soient les racines de l’équation (1) rangées dans leur ordre de 
grandeur, à partir de la plus grande, 
di, On, A... Qi, Li,,.. 0m, 
et supposons que @; soit la racine fournie par la série (3). Appe- 
lons de plus S, la somme des puissances du degré n de toutes les 
racines de l'équation (1), n étant un nombre entier positif. 
Euler prouve que l'expression qui représente $, en fonction des 
coefficients de l'équation (1) coïncide avec la puissance du degré n 
de la série (3), pour n infiniment grand. On aura donc, pour n 
infini, 
Au) EC po 00 Ha +, +... =, 
d'où l’on tire à 
CCR CES 
ou bien 
pr SARA EI AS 
&i &i i 
Mais cette dernière équation ne peut être vérifiée sans que @; 
soit la racine la plus grande. D'où découle la proposition d'Euler. 
Telle est la démonstration de ce géomètre; et l’on voit-par là 
qu'il a essayé d'établir sa proposition en s'appuyant sur la consi- 
dération de la somme des puissances semblables des racines, cette 
somme étant exprimée en série et en fonction des coefficients de 
l'équation (1). Mais il est essentiel d'observer que si Ÿ (y) désigne 
une fonction quelconque entière de y, les racines de équation (4) 
‘ou bien de l'équation (5) étant, en vertu des notations adoptées, 
C7 da LA PE 4) a Ai drE An 
on obtiendra, par la formule du n° 12 de la note XI de la Réso- 
lation des équations numériques, appliquée à l'équation (5), 
SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 59 
