SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 467 
propres rappelée Aa à l'heure (car alors on n'aura plus aucun 
terme à y rejeter), on déduira des équations (14) et (17) divisées 
l'une par l'autre, : . 
me) da” eve) ka) te) 
sa nee sen pue ah on ah (=) 
is) ete: . ut + (ut) fu + : € [(u—) fru)|+ete 
Le second membre de l'équation (19) coïncide avec la série (3) 
d'Euler, en retenant toujours qu'il faut attribuer à fu et à u les 
valeurs déjà mdiquées. 
La série d'Euler, généralement parlant, doit donc être regardée 
comme résultant, non pas (à l'exemple d'Euler) de la simple com- 
paraison entre, d'une part, la puissance du degré n — 1 d'une 
racine quelconque, et, d'autre part, la somme des puissances du 
degré n de toutes les racines; mais elle doit être regardée comme 
résultant de la comparaison entre, d’une part, le produit qu’on 
obtient en multipliant la puissance du degré r — 1 d’une racine 
quelconque par la valeur qu'acquiert une fonction entière et arbi- 
iraire Ÿx, en y faisant æ égal à la valeur réciproque de cette 
même racme, et, d'autre part, la somme de tous les produits 
semblables qu'on obtient en multipliant la puissance du degré n 
de chacune des racines par la valeur qu'acquiert Ÿ x, lorsqu'on y 
fait x égal à la valeur réciproque de cette même racine, 
Cela retenu, on n'aura qu'à répéter les raisonnements exposés 
au $ III de mon premier mémoire, dans le but de prouver l’inexac- 
titude de la proposition de Lagrange, pour se convaincre que le 
premier membre de l'équation (19), renfermant la fonction Ÿ tout 
à fait arbitraire, n’admettra une valeur finie et déterminée qu’au- 
tant qu'il se réduirait à @; : ce qui, notons-le bien, n’exige pas 
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