SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 557 
qui évidemment se réalisent dans le cas de la question qui nous 
occupe. 
Nous allons faire voir maintenant que la courbe se compose de 
deux branches séparées, l’une située tout entière du côté des y 
positifs, et comprise entre deux parallèles à l'axe des x menées 
aux distances 4" et ® +- “— e, l’autre située du côté des y néga- 
L 
üfs, et comprise entre deux autres droites parallèles menées aux 
distances — (a+ af + e) ebe— (8 —= in. e). 
{, 
En effet, la condition que le radical R reste réel exige que le 
polynôme Re? soit positif. Or ce polynôme est du quatrième degré 
en y” et le terme affecté de y" est négatif : si l'on fait y — + co, 
la valeur de PR? devient infinie et négative; elle ne change de signe 
que lorsqu'on fait décroître la valeur absolue de y” en la ramenant 
CE A 1—i 1 i 
aux limites extrêmes (e = e) nee (e k — e). Donc 
L L 
la courbe ne contient aucun point situé en dehors de ces limites. 
La valeur de PR? commence à devenir positive lorsque y” atteint 
ces valeurs, puisqu'il n'existe pas de racines égales; et, si l'on 
continue de faire décroître la valeur absolue de y”, on voit que R: 
reste positif jusqu'à ce que y” atteigne les valeurs où il change de 
signe, ce qui a lieu aux limites — (a + 2 — e) et + À"; le 
signe de R? se trouve changé entre ces limites et devient négatif. 
On doit conclure de cet examen que la courbe est composée de 
, . n . . 1—1 
deux branches, l’une située entre les limites — (e — — — e) 
= (a —+ 2 SUR e), l'autre comprise entre les limites O + LE e 
ni 
eth’;etqu'enoutrel’espacecomprisentreleslimites — (a+ 2° de ie e) 
et + }” n’en renferme aucun point, non plus que les espaces situés 
au delà des limites extrêmes. 
L'équation (a') fait connaître l'ordonnée du point où la tan- 
7 
Hel 1 1 = dx == 
gente est parallèle à l'axe des y; en effet, en ce point on a AE 0, 
