SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 559 
labscisse continue de diminuer jusqu'en cet endroit : mais + 
delà, le numérateur reprend sa valeur positive, et le rapport Le 
étant toujours positif, æ” croît de nouveau jusqu'à ce que y ait 
atteint la limite X”. Au delà de ce point, il faut faire croitre y”, 
c’est-à-dire prendre dy” positif et aussi le signe de R; il en résulte 
de nouveaux accroissements de x” égaux aux précédents, pour les 
mêmes accroissements dy” et les mêmes valeurs de y”. La courbe 
présente dès lors une reproduction périodique des mêmes formes 
qui lui donne quelque ressemblance avec les cycloïdes allongées. 
Si l'on considère la branche située du côté des y négatifs, on 
reconnaîtra sans peine qu ’elle présente une forme tout à fait ana- 
logue à celle de l’autre branche; et cette branche serait exacte- 
ment symétrique avec la première, par rapport à l'axe des æ, si 
lon avait 1 — 1. On reconnaîtra de plus que la condition de con- 
tinuité dans les parties de cette branche exigera que lon choi- 
sisse le signe de R de manière que _. reste positif comme dans 
la première. Et l'on conclura de cette convention que le signe 
de R sera nécessairement contraire dans les parties correspondantes 
des deux branches. 
Nous nous sommes étendu longuement sur la discussion de la 
forme des deux branches de la courbe, quoique nous ne devions 
utiliser qu’une faible partie de l'une d'elles; mais nons avions à 
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ë 3 d : 
fixer relativement aux signes de “- et de R des conventions dont 
l'une nous servira pour l'intégration de l'équation (a'), et l'autre, 
pour la vérification des coefficients que nous présentera l'intégrale 
de cette expression. 
RÉDUCTION DE L'INTÉGRALE DE L'EXPRESSION (@) AUX QUADRATURES. 
14. Nous avons reconnu, après avoir établi cette expression, 
Pimpossibilité de lui appliquer la méthode des quadratures, et 
nous en avons indiqué la cause, dans la présence du facteur V y — x 
