ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES. 637 
longueur et de la difficulté des calculs nécessaires pour effectuer 
une première intégration, et qui conduisent à une formule de 
quadrature qui exprime l'attraction, il faut dire que les substi- 
tutions à effectuer dans cette formule, pour la simplifier et la 
réduire aux seuls éléments de la question, nécessitaient d'autres 
calculs qui parurent inextricables; et que c'est au moyen d’un 
théorème auxiliaire, puisé, il est vrai, dans la formule même, et 
qui, du reste, fait le plus grand honneur à la sagacité de l’auteur, 
qu'on parvient, en substituant à l'ellipsoïde proposé un autre 
ellipsoïde semblable et concentrique, à remplacer la première 
expression par une autre plus simple qui, après un changement 
de variable, devient celle dont on se sert aujourd’hui. Cette solu- 
tion, assurément, est admirable par les grandes difficultés qu'il 
a fallu surmonter pour intégrer l’expression même qui a arrêté 
Lagrange ; mais elle est longue et très-pénible, et puis, elle ne 
se borne pas à de simples transformations de variables, comme 
c'est le propre de l'analyse pure, elle fait usage d’un théorème 
de géométrie pour transporter ses calculs à un autre ellipsoïde 
que le proposé. Par cette double raison, il ‘y avait encore à re- 
venir sur la question, soit pour perfectionner et simplifier ce 
beau travail, soit pour obtenir une autre solution différente et 
plus facile : je veux dire une intégration directe de la formule 
relative aux points extérieurs. 
Cette tâche est celle que M. Poisson s’est proposée dans ces 
derniers temps. Adoptant le mode de décomposition de l’ellip- 
soïde suivi par Lagrange, savoir, en pyramides tronquées infini- 
ment minces qui ont leur sommet au point attiré, supposé exté- 
rieur, on a l'intégrale double qui, à raison du radical qui la 
distingue du cas des points intérieurs, forme la difliculté analy- 
tique du problème. C'est cette intégrale que M. Poisson prend 
pour point de départ, et qu'il se propose d'intégrer une fois. 
Pour cela il différentie cette intégrale double, c’est-à-dire qu'il 
la transforme en une intégrale triple. Cet essai heureux le con- 
duit à un autre mode de décomposition de lellipsoide, Savoir, 
