638 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES. 
en couches infiniment minces comprises chacune entre deux sur- 
faces ellipsoïdales semblables, concentriques et semblablement 
placées. Deux intégrations sont nécessaires pour exprimer l'at- 
traction d’une couche, et elles sont faciles. Mais il faut effectuer 
auparavant de longs calculs pour parvenir à un changement de 
système de coordonnées, sans lequel on ne saurait dégager la 
couche et exprimer convenablement l'attraction de son élément 
de volume. Les nouveaux axes coordonnés sont les trois axes 
principaux du cône circonscrit à la surface externe de la couche, 
qui a pour sommet le point attiré. La détermination de ces trois 
axes se fait par des constantes qui ne sont pas données explicite- 
ment, et qui dépendent d’une équation du troisième degre. IL a 
fallu une très-grande habileté pour se débarrasser de ces quan- 
tités étrangères, moins une, toutefois, qui doit subsister !. 
Enfin, après ces préliminaires, qui laissent au problème de 
l'attraction des ellipsoïdes le caractère d’une question d'analyse tou- 
jours très-difficile et fort compliquée, l'illustre géomètre obtient 
une expression assez simple de l'attraction d’une couche sur un 
point extérieur; et cette expression, mise sous le signe f, de- 
vient l'intégrale elliptique qui exprime l'attraction de l’ellipsoïde. 
Cette intégrale a une forme différente de la formule ordinaire; 
! On évitera en grande partie ces calculs, du moins les plus difficiles, et on simplifiera la 
solution, en prenant pour axes coordonnés les trois normales menées par le point attiré aux 
trois surfaces du 2° degré, qu'on peut faire passer par ce point, de manière qu'elles aient leurs 
sections principales décrites des mêmes foyers que celles de la surface externe de la couche 
attirante. Ces normales sont précisément les axes principaux du cône circonscrit à cette sur- 
face; de sorte que l'on prend le même système d'axes coordonnés que M. Poisson; mais le 
point de vue sous lequel on les envisage et la propriété géométrique par laquelle on les définit 
permettent d'exprimer sur-le-champ leur position, au moyen de trois quantités seulement, au 
lieu de neuf, Ces trois constantes sont les demi-axes majeurs des trois surfaces en question, et 
dépendent d'une même équation connue a priori. De ces trois quantités, une seule reste dans 
les formules; c'est celle qui s'est introduite jusqu'ici dans toutes les solutions de la question. 
Cette manière de considérer les trois axes coordonnés a l'avantage encore de s'appliquer au 
cas où l'on voudrait calculer l'attraction d'une portion quelconque de la couche sur un point 
situé au dedans de sa surface interne, auquel cas il n'y a plus de cône circonscrit, et où l’on 
serait obligé, par conséquent, de recourir à une autre définition des trois axes coordonnés, 
c'est-à-dire à une autre propriété propre à déterminer les directions de ces trois droites dans 
l'espace. 
