642 ATTRACTION DES ELLIPSOIDES. 
Quant à ma démonstration, elle revient à comparer, une à une, 
les attractions exercées par des éléments de volume qui se corres- 
pondent, d’une certaine manière, dans les deux corps. La déter- 
mination de ces éléments correspondants formait la vraie difficulté 
de la question ; difficulté qui disparaît, pour ainsi dire, dans le 
cas particulier traité par Maclaurin. 
Pour le calcul de l'attraction de l'ellipsoïde, je cherche d’a- 
bord l'expression de lattraction d'une couche infiniment mince 
sur un point extérieur; de là je passe à l'expression de l'action 
d’une couche d’une épaisseur finie, et par suite à celle de l'ellip- 
soide entier. 
De cette manière, les deux questions auxquelles nous avons 
dit que l'attraction sur des points extérieurs donnait lieu, dont 
l'une est la démonstration du théorème de Maclaurin, et l’autre 
le calcul de lattraction absolue, se trouvent résolues en même 
temps, d’une manière directe et a priori, c'est-à-dire, sans qu'on 
se soit servi de la formule pour l'attraction sur des points inté- 
rieurs, ni du théorème de M. Ivory. Et ajoutons que les deux 
questions sont aussi résolues indépendamment lune de l'autre. 
Cette solution s'applique à l’ellipsoïde hétérogène, où la den- 
sité est une fonction quelconque de la distance de chaque point 
au centre de lellipsoïde ; divisée par le demi-diamètre sur lequel 
le point est situé. 
La valeur de W'attraction qu'une couche infiniment mince 
exerce sur un point extérieur s'exprime sous une forme geomé- 
trique très-simple et donnant plusieurs conséquences qui sont 
des propriétés de cette attraction. Quant à sa direction, elle 
se présente sous un autre énoncé que dans le mémoire de 
soide auquel il appartient, parce qu'alors ces deux noyaux ou ellipsoïdes intérieurs auraient 
aussi entre eux les mêmes foyers. Et de là, fl est aisé devoir, par la simple composition des 
forces, que le même théorème aurait encore lieu pour les deux couches ellipsoïdales ou el- 
lipsoides creux, dont chacun est la différence de l'ellipsoïde entier au noyau semblable que 
l'on ÿ considère. Et réciproquement, il est bien manifeste quesi le théorème était démontré 
pour deux telles couches d'une épaisseur quelconque, il le serait sur-le-champ pour les deux 
elipsoïdes. » (Comptes rendus des séances de l'Académie, t. VI, p. 810; année 1838.) 
