688 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES. 
un point pris au dehors de sa surface externe est dirigée suivant l'axe 
du cône qui a son sommet en ce point et qu est circonscrit à la 
couche. 
Ce théorème est celui auquel est parvenu M. Poisson, dans 
le cours de sa solution analytique du problème de l'attraction 
sur des points extérieurs !. L 
(39) Pour calculer l'expression de attraction de la couche 
sur le point S, appelons a, b,, c,, les trois demi-axes princi- 
paux de l'ellipsoïde mené par ce point, comme nous avons dit, 
et qui recouvrira une seconde couche infiniment mince; soit p, 
la densité de cette couche : lattraction qu’elle exercera sur le 
point S, situé À sa surface, aura pour expression 
da, 
hp % SP. (87) 
Les masses des deux couches sont 4zp bc da et Arp, bc, da,; 
1 M. Poisson a remarqué que ce théorème pouvait servir dans la théorie de l'électricité, 
pour faire connaître la direction qu'un petit corps placé dans le voisinage d’un ellipsoïde 
électrisé suivrait, en s'approchant de la surface de l’ellipsoïde, par suite du pouvoir attractif 
de l'électricité. ( Mémoires de l'Acad. des sciences, t. XHI, p. 501.) 
Mais il sera utile surtout de savoir que cette direction coïncide avec la normale à l'ellip- 
soïde, qu'on peut mener par le point attiré, de manière que ses sections principales aient les 
mêmes foyers que celles de l’ellipsoïde proposé. Cette notion donne lieu à plusieurs consé- 
quences immédiates qui.ont leur application dans l'étude des phénomènes électriques. Ainsi, 
elle fait voir quelle est la surface sur laquelle plusieurs petits corps soumis à l'action attrac- 
tive ou répulsive d’un ellipsoïde électrisé resteraient en équilibre, sans glisser dans aucun 
sens, en quelque point de la surface qu’on les placät. On voit aussi quelle serait la route qu'un 
petit corps placé à distance finie de la couche électrique, et soumis à son action attractive, 
suivrait pour venir se précipiter à sa surface, si l'on pouvait faire abstraction, dans le cours 
de son mouvement, des vitesses acquises, de la résistance du milieu, et de la réaction du 
petit corps tendant à changer l'état électrique de l’ellipsoïde. Cette route serait la courbe 
formée par une suite de petites lignes qui seraient les normales consécutives à une série d'el- 
lipsoïdes décrits des mêmes foyers que le proposé. Cette courbe est la ligne à double cour- 
bure du quatrième ordre, provenant de l'intersection de deux hyperboloïdes, à une et à deux 
nappes, décrits des mêmes foyers que l'ellipsoïde proposé. 
Si le corps attiré était placé dans le plan d'une des sections principales del ellipsoïde élec- 
trisé, il parcourrait une hyperbole ayant les mêmes foyers que cette section. 
L'ellipsoide pourrait être infiniment aplati et se réduire à une surface plane elliptique; 
les mêmes phénomènes électriques subsisteraient. 
