108 U. S. COAST AND GEODETIC SURVEY. 



By changing the notation of formulas (286) to (288) the folio-wins' 

 relations may be derived : 



°Z^^ ■>c^Ai ■^\ 1 , -.sin 24na COS 24(7i— l)a 



S cos2 24(n— l)a = in + -i -. — ——^ — 



n=i " sm 24a 



,„,,,. , 1 sin 8760a cos 8736a (431) 



-^^^^ + ^ skr24^ 



^^^^ • -, c^Af -N 1 ,sin 24na COS 24(n— l)a 

 S sm^ 2^{n—\)a = \n — \ ._ ^^^ 



= 182i-i 



n=365 

 n=l Sill ^'±U' 



sin 8760a cos 8736a (432) 



sin 24a 



n=365 



S cos 24(71—1)6 cos 24(n— l)a 



n=l 



_j^sin 12?i(& — a) cos 12(n— 1)(& — a) 

 ~2 sin 12(&-a) 



+ Y 



^ sin 12n(6 + a) cos 12(7i-l)(& + a) 

 sin 12(6 + a) 



J sin 4380 (6 -a) cos 4368 (6 -a) 

 ^ sin 12 (6 -a) 



.+ i 



^ sin 4380 (6 + a) cos 4368 (6 + a) (433) 



sin 12(6 + a) 



n=365 



S sin 24(n-l)6 sin 24(n-l)a 



n=l 



_ ^ sin 12n(6 — a) cosl2(7i— 1) (b — a) 

 ^^ sin 12 (6 -a) 



, sin 12yi(6 + a) cos 12(n-l) (6 + a) 

 ~^ sin 12(6 + a) 



_ J sin 4380 ( 6 -a) c os 4368 (5 -a) 

 ~^ sin 12 (6 -a) 



_, sin 4380(6+a) cos 4368(6 + a) (434) 



2 sin 12 (6 + a) 



n=365 



S sin 24(n-l)6 COS 24(n-l)a 



n=l 



_j sin 12n(6 — g) sin 12(n — 1) (6 — a) 

 ~^ sinl2(6-a) 



, sin 12n(6 + a) sin 12(n-l) (6+ a) 

 "^2 sin 12(6 + a) 



, sin 4380(6 -a) sin 4368 (6 -a) 

 ~2 sin 12 (6 -a) 



J sin 4380(6 + a)sin 4368(6 + a) (435) 



"^^ sin 12(6 + a) 



