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haben, sodass der Kontakt m 4- n auch hier in n + {m + n) 

 ùbergehen wiirde. 



Anders ist es dagegen, wenn die Kreise bei einem 

 System m + n, bci dem « > 2 m, zunehmen. Der Para- 

 stichenwinkel wird dann immer spitzer, und je nach den 

 Zahleii m und n stellt sich fruher oder spater die Insta- 

 bilitàt des Systems ein, die wir im IV. Kapitel kennen 

 gelernt haben. Jedenfalls wird das System, ehe und bevor 

 der niedrigere dreizâhlige Kontakt erreicht ist, ganz 

 unmôglich. Das System m -f n wird dann nicht wie sonst 

 in {n — m) + m ùbergehen, sondern in ein anderes System, 

 das im allgemeinen nicht im voraus anzugeben ist; von 

 1 + 3 sahen wir oben, dass es 2 H- 3 sein musste. 



Wir kommen also zu dem Ergebnis, dass, wâhrend 

 aile rekurrenten Reihen sich nach oben zu durch lang- 

 same Abnahme der Kreise verwirklichen kônnen, dies 

 nach unten zu nur soweit der Fall ist, als dabei n <2m 

 blcibt. Di^ Hauptreihe kann also nach unten bis an den 

 niedrigst môglichen Kontakt 1 H- 1 fortgesetzt werden ; 

 ieine Reihe wie 3, 10. 13, u. s. w. kann bis an ihr niedrigstes 

 Glied 3 -f- 10 fortgesetzt werden, dies kann dann aber 

 nicht in 3 + 7 ùbergehen. sondern in ein anderes System, 

 bei dem das Verhâltnis der Parastichenzahlen sicîi der 

 Einheit etwas mehr nâhert. 



3. m ■==■ n. Die wirteligen Stellungen sind in ihren 

 Ûbergangsfiguren von den spiraligen sehr stark verschieden. 

 Weder Schwendener noch van Iterson bemerkt 

 dièses ausdrùcklich ; dass es aber se ist, werde ich hier 

 beweisen. Denn erstens bleibt das System bei rascher 

 Abnahme oder Zunahme der Kreise anfangs ebenso regel- 

 mâssig wie bci langsamon Ândcrungen ; der Beweis, dass 

 die raschen Ûbergilnge das Regelmass der spiralen Système 

 verderben, beruht gerade darauf, dass m und n ungleich 



