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Wendepunkte. Ans Fig. 2 ist ersichtlich, dass auf dem 

 vierten Teil der Kurve, der dort gezeichnet ist, ein reeller 

 Wendepunkt liegt. Wir wollen nun wissen, ob dieser 

 Punkt auf dem niitzlichen oder auf dem parasitischen 

 Teil der Kurve liegt. 



Wir kônnen aber vorher sagen, dass dièses von gevvissen 

 Umstanden abhangen wird, und zwar deshalb, weil die 

 Kurve, deren Gleichung augenscheinlich in 



x^- {x^ + y-) = if x^ -\- q- y- 3) 



umgesetzt werden kann, von zwei Orossen j; und g ab- 

 hiingt, wahrend in dem Problem ihrer drei vorkommen 

 naralich a, r und ;. oder a. Hieraus folgt ja, dass dieselbe 

 Kurve in einer einfach unendliehen Zahl von Fallen vor- 

 kommen muss, denn wir kônnen — innerhalb gewisser 

 Grenzen — r willkùrlich annehmen und dann a und l 

 so bestimmen, dass wir eine Kurve mit gegebenem p 

 und q flnden. 



Die Wendepunktsbedingung -- .; = 0. fuhrt hier auf 



(/ X' 



die gewohnliche Weise zu der quadratischen Gleichung 

 in x~, ausgedriickt durcir 



.x* + 2 g- X- — 'èp~ q- z=zÇ> 



d. h. X- — — q-± ^ gM3 p' + q""). 



Dièse Lôsung ist befriedigend, denn sie gibt fur x- einen 

 einzigen positiven Wert. also in jedem der vier Quadranten 

 einen reellen Wendepunkt. Wenn wir zu a, r und « 

 zuriickgehen, so finden wir 

 X' = — a- sin - « ib ^^ a'^ sin" a [4 a^ sin- a + 3 r' cos^ a] 



Weil dieser Wert von x- grôsser sein muss als «-. 

 wenn die Wendepunkte auf dem niitzlichen Teil liegen 

 sollen, ist die Bedingung dazu also 

 a* (l + sin- «)- < a^ sin- « [4- a,- sin''' o -\-Sr'' cos"^ a], 

 welche reduziert werden kann auf 



