146 Histoire DE L'ACADEMIE RoYALE 
fequent tous ces tiers décroiffans, quoiqu’en nombre in- 
fini ,ne referoient pas le Tout, & il'eft démontré qu'ils 
n’en feroient que la moitié. De même tous les quarts dé- 
croiffans à l'infini en feroient le tiers , toutes les cenrié- 
mes parties en feroient la quatre-vingt-dix-neuviéme,de 
forte que la fomme infinie d’une progrefñion geometri- 
que décroiffante , non-feulement eft toüjours finie, mais 
peut être plus petite que quelque grandeur finie que lon 
veüille afligner. , 
Que fi une Serie infinie décroiffante exprime des par- 
ties qui ne puiflent pas être dans un Tout féparémenrt les 
unes des autres, mais telles que pour prendre leurs va- 
leurs , il falût fuppofer la même quantité prife plufieurs 
fois dans un même Tout , alors la fomme de ces parties 
doit faire plus que le Tout , & elle fera infinimentplus, 
c’eft-à-dire , que la Serie fera infinie,fi la même quantité 
prife plufeurs fois; l’eft une infinité de fois. En fuivant la 
Progreflion harmonique +, +, + &c. fi lon prend + d'un 
Pied ou 6 pouces , enfuite 4 pouces, il eft clair qu'on ne 
peur plus prendre = de Pied,ou 3 pouces, fans prendre r 
pouce de plus qu'il #”y en a dans le Pied , & par confe- 
quent fans prendre une feconde fois un pouce déja pris. 
Puifque le Tout eft déja plus qu’épuifé par les trois pre- 
miers termes de la progreffion , onne peutplus prendre 
lestermes fuivans, fans prendre quelque chofe de ce qui 
a déja été pris , & commeils font en nombre infini ,ileft 
fort poffible que par-là une même quantité finie foit re- 
pétée un nombreinfini defois, ce qui rendra la fomme 
de la progreflion infinie. | 
Je dis feulement qu’il effpoffible, car outre que je ne 
veux ici que faire voir la pofhibilité qu’il y a de deux 
Series infinies , lune faffe une fomme finie; l’autreune 
infinie ,ileft vraï qu'il peut y avoir telle autre Serie, où 
les premiers termesayant épuifé le Tout, les fuivans , 
quoiqu’en nombre infini,ne feroient qu'une fomme finie. 
Eten effet dés qu’il eft démontré par les progreflions 
geometriques qu'il y a des Series qui font moins que le’ 
