^6 Mémoires de t' Académie Royale 

 en trouve trois, ce qu'on n'avoit point encore remarqué.. 

 Ce font de ces fortes de cas qui paroifl'ent d'abord être 

 des défauts de la méthode. Voici de quelle manière je 

 démontre que ce feul point de rencontre donne trois ra- 

 cines. 



Si parle point ^ on mène une touchante ^D à l'hy- 

 perbole, on fçait que cette touchante»/^!) rencontrera 

 l'afymptote CD au point D , & que GD=:a. Mais fi par 

 le même point ^ , on mène aufll une touchante à la para- 

 bole , il eft évident que cette touchante coupera l'axe 

 2tL en un point S, en forte que H S fera égale à UR , & 

 HR étant^-^a,RS fera =^j-a=J:RL , & par eonfé- 

 qaem RS ^= R^ : mais ^G=GD; donc la même ligne 

 S^D touchera la parabole & l'hyperbole au même point 

 ^ où elles fe rencontrent. 



Mais quoique ces deux courbes étant convexes d'uiî- 

 même côté touchent une même ligne droite en un mê- 

 me point, ce n'eft pas à dire quelles ne fe coupent pas 

 dans ce point , & effeûivement elles s'y coupent. Car fi 

 l'on prend une partie indéfiniment petite RT=i , & me- 

 nant Tfe ordo/inée , laquelle rencontre l'hyperbole en/ 

 & la parabole en e, on aura Tf=^a — ^& Tez=. 



\/ \aa-\~ai ,à!o\i l'on connoîtra que Te e&. plus grande 

 que Tf--, au contraire fi le point T eft pris entre R Sx. Hi 

 Se par conféquent la partie ^Q^e la parabole pafle entre 

 l'hyperbole & fon afymptote qu'elle doit enfin couper, 

 puifque cette afymptote fera un des diamètres de la para- 

 bole ; ce fera le contraire de la partie ^ H delà parabole 

 qui paffe au dedans de Ihyperbole. Ainfi ce point ^ ne 

 devroit donner qu'une feule racine. 



Ce cas particulier de ces deux lignes courbes qui fe 

 coupent en un point où elles touchent une même ligne. 

 droite d'un même côté, réunit en ce point trois rencon- 

 tres des deux lignes courbes , comme le point où deux 

 courbes fe touchent réunit deux points de leur rencon- 

 tic, 6c même plufieurs fuiyant les différentes inflexions. 



