2IO Mémoires de l'Académie Rotalb 



celui du plus court tems pour arriver à la même tan- 

 gente : donc à plus forte raifon eft-il celui du plus court 

 tems pour arriver à la Parabole 5 la tangente étant toute hors 

 de la Parabole départ & d'autre du point X) ,& du côté du 

 dointd'origine ^. Par- là le Problême fe réduit à détermine? 

 entre une infinité de Cycloïdes^celle qui vient couperla pa- 

 rabole à angles droits ; ce que Je fais aifément de cette forte. 



Je mène à l'arc w/^GB au point B la tangente B-S:, qui 

 rencontre en K Ihorifontale ^C prolongée de l'autre cô- 

 té du point d'origine ^ ; je mène auflî du pointD, DT 

 parallèle z B K , qui rencontre en T Ihorifontale -A c ; 

 & que je prolonge de l'autre côté jufqu'à la rencontre de 

 J'axe de la Parabole au point R ; elle eft tangente au point 

 U à l'arc ^ f D , cet arc étant femblable à l'aie -^GB. 



Maintenant, nommant ER; ^i on aER (tC). ED (u) 



::PD.PT::LB{j).LK ( ^) ::dj)/ Jx-.-.y/a—y. l/j (pat 



la propriété delaCycloïde);cequidonne«=^i^ imais 



dans le cas de la fuppofition l'arc y4FD tombant fur la 

 parabole à angles droits , il eft évident que ER eft la fouG- 

 perpendiculaire de la Parabole , & par conféquent égale 

 ^■^pi mettant donc dans l'égalité précédente cette va- 

 leur -^p au lieu de x qui eA ER, on aura « = - ^ ■' - ■ on 



avoit déjà trouvé » = ~ ^-^ "^ ^^^" "*" '^''"'''' i on aura donc 



py'y — ty 4- y't'fyy +vf"'y 



Va — y * 



En délivrant cette égalité des fraâions & des fignes ra- 

 dicaux , il vient ^ppj' — ^pp)y= i ôaacc-^- 1 occyj-^ppxx 

 —^izaccj — Sacpx-i-Scpxy. Et dégageant jtj des quantités 

 connues , qui le multipliant , on a , J)' -+• 



icpxy , pfxx Sjrtj i^cpx ^aacc tipln 



^i+pf i6a-\-^pp V'-^fl' 4<^«+-/'/' 4"+/'/' ¥•:+!•? 



ce qui eft un lieu à l'ellipfe , ou au cercle ; la quanti- 

 té connue— ^rr-j qui multiplie le quarré xx furpaftant 



4' 



'+/'/'' 



le quarré de la moitié de celle qui multiplie le plan xy , 



