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Ce fera que dans le Rebrouiïement où il n'y a que trois 



points diftintfls, les deux Tangentes confondues enfemble; 



ne vaudront qu'une Sécante en trois points, & que dans les 



deux autres cas elles vaudront une Sécante en quatre points. 



Ainfi en prenant une expreffion générale d'une Sécante 

 de la Courbe, & l'appliquant au point pour lequel on aura 

 fait la 2''^ Différentiation , fi l'on trouve enfuite par le Calcul 

 trois valeurs égales de la Sécante en ce point , il eft un point 

 de Rebrou flement fimple. Si on trouve quatre valeurs, c'eft 

 ou une ofculation , ou une Lemnifcate infiniment petite. 



Cette ambiguïté qui refte encore demande une confidé- 

 ration nouvelle. La Lemnifcate infiniment petite a été une 

 Lemnifcate finie conjuguée, c'efl-à-dire, détachée de tout 

 le refle de la Courbe, & par confëquent le point auquel 

 elle eft réduite, en eft détaché. Donc de ce point à un autre 

 quelconque de la Courbe, il n'y a point d'Ordonnées, ou, 

 ce qui eft la même chofè , les Ordonnées de tout efpace 

 vuide font imaginaires. Tout au contraire, d'un point d'oC- 

 culation à un autre point de la Courbe, les Ordonnées font 

 néceflairement réelles. On voit aflés combien il fera facile 

 au Calcul de reconnoître cette extrême difi^rence, & par 

 conféquent de diftinguer les deux points en queftion. 



En joignant à cela ce qui a été dit en 1730 fur les points 

 / doubles, on aura tout ce qui leur appartient, & il fera bon 

 de mettre le tout ici fous un même coup d'œil. 



Il y a cinq efpeces de points doubles , des points d'inter- 

 fè(n;ion de deux branches, des points de rebrouflêment , des 

 points provenus d'Ovales conjuguées, des points provenus de 

 Lemnifoates conjuguées, des points d'ofoulation. 



Ils ont tous deux Tangentes , qui fe trouvent par deux 

 DifFérentiations conlécutives. 



Les Tangentes font réelles, ou imaginaires , égales , ou 

 inégales. 



Si elles font imaginaires, ie point eft provenu d'une Ovale 

 conjuguée. 



Si elles font réelles, elles font inégales, ou égales» 

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