f)4 Mémoires DE l'Académie Royale 

 cette Courbe , à prendre fon commencement au poin<fl le 

 plus bas, loin de s'élever à une diftance infinie, doit au 

 contraire fe terminer , & redefcendre enfuite par une efpece 

 de pointe ou poind de rebrouflement , comme on fçait qu'il 

 arrive à la Cycloïde elle-même, qui eft laTautochrone dans 

 Je cas d'une réfiflance nulle ou infiniment petite. En effet 

 {i quelque Tautochrone s'étendoit à l'infini , l'on voit afî'és 

 que le temps de la defcente par un arc infiniment long ne 

 pourroit pas être fini & déterminé, contre l'hypothelê ; car 

 une vîteiïe toujours finie dans un temps fini ne îçauroit faire 

 parcourir un efpace infini. Afin donc que nous trouvions 

 jufqu' où nôtre Tautochi-one doit s'élever , & que nous dé- 

 terminions le poinél où commence le plus grand arc poffible 

 de defcente , ou le poind de rebroufîement , voici comme 

 je raifonne: Puifque l'on a trouvé ci-deffus (S- P-J ^y^^. 



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'^drv(nâ — ^nn~\-^nnc " — 4«;/c " ) -.mm, l'on voit 

 ■d'abord qu'au poinél le plus bas , iorfque rzzzo, dy=.dr; 

 ce qui fait voir que l'axe efl: perpendiculaire à la Courbe; 

 comme il doit arriver ; autrement ce ne feroit pas le poind: 

 le plus bas : mais enfuite en s'éloignant de ce poin(5l , la rai- 

 fbn de dy à dr décroît Jufqu'à ce qu'elle devienne nulle , ce 

 qui arrive Iorfque la Courbe eft perpendiculaire à l'appliquée. 

 Je dis maintenant que la Courbe ne s'étend pas au de-ià 

 de ce poin(5l , & qu'ainfi c'eft le poind; le plus élevé ; car fi 



la Courbe s'élevoit davantage, 4«« — ^iitic " -+-^ri/ic " 

 feroit plus grand que m"^, ôi. partant dy ou dr Vfm'^ — 4 « « 



-4-8««c " — 4«/7f " J lèroît imaginaire ou impoffible; 

 donc afin que dy foit =: o , ce qui termine le plus grand 



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arc, il faut que m"^ fbit zzi^nti — 8««<: " -+-^ntic " , 



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pu extrayant la racine , il faut que mm foit = 2 // c " — zn; 



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d'où l'on tire """;'^"' ;=c"^; & prenant les logarithmes; 



