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^eiix racines réelles, égales & de même figne, !a courbe, 

 dont la nature eft exprimée par l'équation (D), qui dans cet 

 exemple particulier efl: réduite à l'équation pyy — ^pcy 

 --^-pccz^zx^ — ^axx-k-jaax — 2a^, a un point double, 

 &à ce point double, l'abfciflè A P (x) eft à l'ordonnée PZ 

 (y) :: a : c; donc, fi l'on prend A Bz=za, & fur la droite 

 £M, parallèle à l'ordonnée principale 6'L , la partie BMrr^ic, 

 le point M fera le point double de la courbe, dont la nature 

 eft exprimée par l'équation /7^jy — 2pcy-\~pcc-=zx^ — 

 ^axx -\-jaax- — 2a^. Ce qu'il fallait montrer en premier Tien, 

 2.." Pour connoître maintenant la nature de ce point 

 double M, c'eft-à-dire, s'il eft un point d'interfedion , ou 

 un point de rebrouffement , ou une oVale infiniment petite *, * An, ra. 



on différentiera deux fois l'équation pyy 2 pcy -+-pcc 



:=:x^ — ^ax x-\-jaax — 2a^ , fùivant l'art. 163 de 

 l'analylè des Infiniments petits , & \ts méthodes de M. Ber- 

 Iioulli, & la féconde différentiation donnera. pdy'^z^.jxJx'' 



• — ^adx'', d'où i'on tire -^z=:-^~-^, & enfuite -^ 



^z: ~ "y^^" • Mais au point double Af, on a x:=.a*: ^Parknmhe 



' précédent du inî- 



Donc , en ce point double M, on a -J— z=. ■ '^^~'' , Or '" '^"' '' 



y — a eft une grandeur imaginaire; donc au point dou- 

 ble M, les tangentes de la courbe font imaginaires, quoique 

 ies coordonnées G B, BM io'itni réelles : donc * ce point * Art. 20 

 double Mci\. une ovaleinfiniment petite, ou un point conjugué, àr 21. 

 En effet cette courbe efl celle qui, dans l'énumération des lignes 

 du troifiéme ordre de M. Newton , efl la 6p.' efpcce, que ce 

 célèbre Géomètre dit avoir un point conjugué : j'ai préféré cet 

 exemple , quoique connu , & pris parmi les lignes du troifiéme 

 ordre, ifn de faire voir la liaifon de mes principes, avec les 

 vérités qui ont été publiées par d'autres. 



RemarqueII. 



LIX. On a dit dans la neuvième définition*, que l'ovale *Art. 13. 



