ii4 Mémoires de l'Académie Royale 



pour faire voir l'ufage des règles qu'on a dotmées d-devûnt. 



Revenons au point M dont il faut faire connoître ia nature. 



On a trouvé que G E (g) z=ie efl; une racine triple de 



légalité /^L^; d'oià l'on a conclu que le point ylf pourroit être, 



ou un point, dont l'inflexion feroit parallèle à l'axe, ou un 



point double auquel QA'I feroit tangente, ou un point triple 



auquel Q^/Teroit fécante- Mais GQ (R)z=.a efl aufTi une 



racine triple de l'égalité (A), donc, i ." le point M ne fçauroit 



être un fimple point d'inflexion, ( car il faudroit pour cela 



que C(2 (a) ne fût qu'une racine fimple de l'égalité marquée 



*Art.}o. par fAJ )*; 2° ce même point ^ ne fçauroit être un point 



"■ ^ ■ double avec rebrouflèment, ( car GQ (a) ne feroit alors qu'une 



* Art.ji- racine double * de l'égalité (A) ). Donc il ne peut être qu'un 



point double fans rebrou fTement, auquel QM & EM fè- 

 *Art.;^. roient tangentes*, ou bien un point triple auquel Q_M Sc 

 EM feront fécantes. 



Pour connoître maintenant fi ce point M. efl: un point 

 double, ou un point triple, on tranfportera l'origine des 

 indéterminées de 6^ en M,<in prenant u-=:z.y — e, & 2:=.v — a, 

 ce qui transformera l'équation (2) en celle que l'on voit 

 ici marquée par (à.)* 

 *Art.4g. (à.)...^(iu':=:i'-\-^ûi\ 



V. la Taik. ç^j^ ^^.^^ p^^ j^^ p^.^^^ 6; & 7^, on tirera la droite GM, 



* Art. ^i. qui coupera la courbe en autant de points * qu'il y a dera- 

 d^ -l-»- cines réelles dans l'égalité (2K) en y comprenant les points 





doubles pour deux points, 6c les points triples pour trois. 



Dans cette égalité ( qui efl donnée par la comparaifon des 

 triangles femblables GIK, A'IPjM, & dans laquelle J K 



* Art. 4p. (Il) zzz -^ ) * les quatre racines font 7=0, 7=0, 7=zo, & 



V.UTai/c. \t 



1 :=z — j a -4- -^ , enfbrte qu'elle a trois de ces racines qui 



font égales à zéro; d'où il fuit que la droite GAf fecante en 

 M ne fçauroit y être fécante en un point double , ( car il 



