364 Mémoires de l'Académie Royale 

 rentrent en elles-mêmes ; celles que l'on va donner ici , fa 

 première pour les Lignes du 4"^^ ordre , qui ont un point 

 double à l'origine de leur axe, la féconde pour celles qui ont 

 deux points doubles fur leur axe, & la troifiéme pour celles 

 qui ont trois points doubles , conviennent aufTi aux Lignes 

 de cet ordre, qui s'étendent à l'infini , & à celles qui rentrent 

 en elles-mêmes , & l'on en fait l'application aux unes & aux 

 autres par des exemples choifis parmi le grand nombre de 

 Lignes dont le 4™^ ordre efl coinpofé. 



Enfin les Lignes du 4™= ordre étant fufceptibles des trois 

 efpeces de points doubles d'interficflion , comme on l'a dé- 

 montré dans l'art. 37, après avoir donné des règles pour re- 

 connoître le point d'inter(e>5tion d'avec le point de rcbrouf- 

 lêment Se le point conjugué, il a fallu en donner, pour re- 

 connoître parmi les points d'inter(ê6tion des Lignes du 4""^ 

 ordre, ceux qui étoient de la 1'^'=, 2'^^ ou 3'"'-' c/pece ; c'eft 

 ce qu'on a exécuté à la fin de cette féconde Partie, que l'on 

 termine enfin par démontrer qu'une Courbe du 4™^ ordre 

 ne fçauroit jamais avoir plus de trois points doubles. 



J'auroîs pu commencer mon Mémoire par cette dernière 

 Propofition, & donner en même temps pluficurs nouveaux 

 Théorèmes fur les Lignes algébriques des ordres fupéricurs 

 au quatrième : Théorèmes qui font voir une analogie parfaite 

 entre les Lignes algébriques & les points mufti|>lcs dont elles 

 font fufceptibles; par exemple, on auroit pii démontrer ici, 

 1." Qu'une Ligne du 6""= ordre ne fçauroit jamais avoir plus 

 de trois points triples ; Qu'une Ligne du S'"^ ordre ne fçau- 

 roit avoir plus de trois points quatruples ; Qu'une Ligne du 

 I o™« ordre ne fçauroit avoir plus de trois points quintuples; 

 Enfin qu'une Ligne d'un ordre pair, exprimé par «, ne fçau- 

 roii avoir plus de trois points multiples , dont la multiplicité 

 Ibit exprimée par — . 



2.° On auroit pu démontrer ici, à legard des Lignes 

 d'un ordre impair , que celles du 3 '"'^ ordre, qui ont un point 

 double , ne fçauroient avoir d'auU.-es points tijuhiples. Que 



