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celles du 5"*^ ordre, qui ont un point triple, ne peuvent avoir 

 plus de trois points doubles. Que celles du 7™« ordre, qui 

 ont un point quadruple, ne peuvent avoir plus de trois points 

 triples. Que celles du p"'^ ordre, qui ont un point quintuple, 

 ne fçauroient avoir plus de trois points quadruples , & ainfi 

 des autres Lignes d'un ordre impair à l'infini. Mais la dé- 

 monftration de ces Théorèmes m'auroit trop écarté de mon 

 fujet, je me réferve de la donner dans quelque Ecrit détaché: 

 continuons donc i'éxamen des Lignes du 4'"^ ordre , fans 

 poufler plus loin la Théorie générale des Lignes algébriques 

 d'un ordre fûpérieur. C'eft ce que l'on trouvera dans ce fécond 

 Mémoire, dont les articles doivent fuivre le même ordre que 

 ceux du Mémoire précédent , puifqu'il n'en eft que la fuite. 



PROPOSITION III 



THEOREME. 



LXL Toutes les Lignes du ^' ordre , telles que MGDG 

 mZEV*, owMGmZEV*. ou MDmZEV*, dont k'^VXg.j^x. 

 nature efl exprimée par l'équation générale marquée ici par (10), * p!S- 4'2> 

 dans laquelle l'indéterminée (z) exprime les abfcijjes GQ_, é^ les o"*'' 

 indéterminées ( u ) , les ordoiniées Q M , ont un point double à 

 l'origine G de leur axe. 



(10). .. Au''^H-QzH-A xu'h-Bzzh-Cz-hD xuu 



-h-Ez*-f-Fzz-j-Gz xuh-Kz*-+-Lz'h-Mzz=:o, 



DÉMONSTRATION. 



Lorfque le point Q tombe en G, alors i étant = o , l'éga- 

 ïité marquée par (L) dans l'art. 49 , eft telle qu'on la voit ici, 



(L)...^u''-\-Au'-^Du—o. 

 Cette égalité ayant deux racines égales & de même fîgne, 

 qui font uz=:.o & u=izo, il eft vifible qu'il y a au point G 

 deux ordonnées égales & de mêmes fignes. Mais quand l'or- 

 donnée QMfuJ eft zzz o , l'égalité marquée par CAJ dans 

 i'art. 45), qui donne les valeurs des abfciffes CQ (i) , lorfque 



Zz iij 



