^66 Mémoires de l'Académie Royale 



its ordonnées QM(ii) font :=. o, tû telle qu'on la voit ici. 



Celte féconde égalité ayant encore deux racines égales & de 

 mêmes figues, fçavoir z=o & Z^^^^^> '^ eft vifible qu'il y 

 a au point G, non feulement deux ordonnées égales Se de 

 mêmes figncs , comme on vient de le voir, mais encore 

 deux abfcilîcs égales &de mêmes fignes, qui font iz=.o 8c 

 An.^i. 2 = o ; donc* il doit y avoir en G un point double de la 

 courbe MGDGmZEV. ou MGmZEV, ou MDmZEV, 

 dont la nature eft exprimée par l'équation marquée par (i o). 

 Mais les coefficients i^,Q, A , B, C, D, E , F, G, K, 

 L,M^ de l'équation^/ o) étant des coefficients indéterminés, 

 quoique conftants, qui portent avec eux leurs figncs H- & 

 — , il eft évident que l'équation marquée par (i o) exprime 

 la nature de plufieurs lignes du 4™^ ordre; & comme les 

 diffi^entes valeurs de ces coefficients ne changent rien à la 

 prélènte démonftration , il eft vifible que cette démonftration 

 convient à toutes les Courbes , dont la nature peut être 

 exprimée par l'équation (10), 8c par conféqiient que toutes 

 «es courbes ont un point double à l'origine G de leur axe. 

 Ce qu'il falloit démontrer. 



Corollaire. 



LXII. Donc toutes les lignes du 4^"^ ordre, dont la na- 

 ture eft exprimée par l'équation marquée ici par (2. 0) ont 

 ua point double à l'origine G de leur axe. 



Ei^ H -=-22H ;=-Z2-+-^2 x «-t-Ag* 



VK VM 



zVJÏKz' -\-Miz=io. 

 Car i'ablcifte (z) étant rrr o , on aura toujours l'égalité A«* 

 Au^ -{-Dit' z=:o, & l'indéterminée fuj étant =0, 



on aura toujours l'égalité Â'2*-4-22' vJCM-hMz'^ = o ; 

 d'où il fuit qu'au point G, ou 2= o, on aura, comme dans 



