DES Sciences. 411 



les mimA'ateur & dénominateur de la fracflion fFJ s'évanoiiif- 

 fènl dans tous les cas où « efl:r=:_y/ Et par confcquent que 

 les points de rencontre des courbes auxiliaires , qui tombent fur 

 la ligne du 4"^^ ordre, y défignent autant de points doubles. 



Donc, après avoir trouvé, de la manière qu'on l'a expli- 

 quée ci-defliis *, les valeurs des abfcifles & des ordonnées , des *"■' ^ df f 

 courbes auxiliaires défignées par les équations fAJ & fBJ, aux ' "' """ "' 

 points où ces deux courbes le rencontrent : on fubflituëra 

 fucceffivementdans l'équation (^D), au lieu de l'indéterminée 

 (il), les différentes valeurs de l'indéterminée ^j'y', &en même 

 temps la valeur correfpondante de l'indéterminée (i) : fi une 

 ou plufieurs des fubftitutions font évanouir tous les termes de 

 l'équation ('^D), la ligne du ^.'"^ ordre, dont cette équation 

 exprime la nature, aura un ou plufieurs points doubles, & 

 les valeurs des (y) & des (i) correfpondants, qui, ayant été 

 fubftituées, auront fait évanoiiir tous les termes de léquation 

 f^D), défigneront les ordonnées & les abfcilTes, de la ligne 

 du 4,™"= ordre , correfpondantes aux points doubles de celte 

 ligne. Ainfi on fera certain, non -feulement que la ligne 

 donnée a des points doubles, mais encore on aura les va- 

 leurs des abfcifles & des ordonnées qui correlpondcnt à ces 

 points doubles. Ce qu'il fallait trouver en i^' lieu. 



Après avoir fubftitué fuccefTivement , dans l'équation 

 (\D), au lieu de l'indéterminée ^///, les valeurs trouvées, de 

 l'indéterminée (y), aux points de rencontre des deux courbes 

 auxiliaires, & en même temps les valeurs correfpondantes de 

 l'indéterminée (1), fi aucune des fubftitutions n'a fait évanoiiir 

 tous les termes de l'équation (^4 D) : ou bien , fi les deux 

 courbes auxiliaires ne fe rencontrent pas, ce qui peut arriver, 

 c'eft-à-dire, û la combinaifon des équations fA) & fffj ne 

 donne que des racines imaginaires : la ligne du 4™^ ordre, 

 dont la nature fera exprimée' par l'équation (^D), n'aur» 

 aucun point double. Ce (ju il fallait trouver eti fécond lietii^ 



Exemple I. 



XCI. On demande fi la courbe, dont la nature eft 



^ Fffij 



