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(F) .'car alors la ièule extracflion des racines des deux égalités 

 formées, l'une par le numérateur égalé à zéro, l'autre parle 

 dénominateur auffi égalé à zéro, donne les valeurs Aç.s (1) 

 & des (il), qui étant fucceffivement fubflituées dans l'équa- 

 tion de la courbe, font connaître fi la courbe a ou n'a pas 

 de points doubles. Par exemple, on demande fi la courbe, 

 dont la nature eft exprimée par l'équation z/* — xb'u — 2.hi^ 

 --\-llb'iz=L o, a des points doubles. Après avoir difFérentié 



i'équation, on a -7^ = -^jp^ErnîF ' '^'°" ^'°" ^^^^ ^" 

 deux égalités fuivantes 'i — Ij^z=zo, & k' — h'nzzzo] Les 

 racines de la première égalité font 1^=. o Si z-z=.b, aufquellcs 

 Gorrefpondent les racines «rr:o & ?/=;r+-^ de la 2'''^ égalité. 

 Or, r.° i'=zo & ?/ = o étant fubffitués dans l'équation 

 propofee ii^ — zV' ii" — 2.1'^ ~\-7^hhii-:i=.o , tous les 

 termes s'évanoïiiflent : ce qui fait voir que la courbe propolce 

 a un point double à l'origine de Ion axe. 2.° Si l'on fubfiituë 

 dans cette même équation, au lieu de (i) & de (u), les valeurs 

 ^:=r^ & u-=.-z^b, tous les termes s'évanoiiifiènt encoî^;: 

 D'oij il fuit que cette courbe a deux autres points doubles, de 

 part & d'autre de Ion axe , diftants de cet axe de la grandeur 

 u-=.zàr.b, & cela fur une ligne droite parallèle aux ordon- 

 nées, diftante de l'origine des ablcilTesde la grandeur 2=^. 



PROPOSITION VIII 

 PROBLEME. 



XCrV. Les points d'ititerfeâion fl'uiie ligne du ^'"f ordre, 

 dont on a l'équation, étant donnés, déterminer fi ce point d'in-- 

 terfeâion efl un point double de h première, de la féconde, ou d& 

 h. troifiéme ejpece. 



Solution. 



Soit fa courBe MGDGARCRm*. dont EP eft l'axe; * Fig. 44.1-. 

 Le rapport des abfcifles EP aux ordonnées PM étant donné 

 pajr une équation algébrique quelconque du quatrième degré,. 



