434 Mémoires de l'Académie Royale 



Remarques. 



CXI. Après avoir prouvé qu'une ligne du 4™= ordre 

 ne fçauroit avoir pius de trois points doubles, on démontrera 

 de même , i.° Qu'une iigne du j™* ordre ne fçauroit 

 jamais avoir plus de fix points doubles. 2.° Qu'une ligne du 

 ^me ordre ne fçauroit en avoir plus de dix. 3 ." Qu'une ligne 

 du 7"'^ ordre ne (çauroit en avoir plus de quinze. 4." Qu'une 

 ligne du 8'"^ ordre ne fçauroit en avoir pius de vingt-un, & 

 ainfi de fuite, fuivant la progreflion des nombres triangulaires. 

 Enlbrte que û n exprime, par le nombre de ks unités , l'ordre 

 d'une ligne quelconque, le nombre des points doubles, dont 

 les lignes de cet ordre font fufceptibles, fera exprimé par le 

 nombre triangulaire, qui dans le Triangle de M. Pafcal corref- 

 pond au nombre naturel n — i. Or, on fçait que le nombre 

 triangulaire, correfpondant au nombre naturel « — i, efl 



-; Donc cette exprefTion 



exprime toujours, par le nombre de fès unités, le plus grand 

 nombre de points doubles dont une ligne de l'ordre exprimé 

 par n efl fufceptible. Vérité qui n'avoit pas encore été re- 

 marquée jufqu'ici. 



Avertissement. 



Ce Mémoire étant Aéja trop long, on a été obligé , après <pi"tl 

 a été là à l'Académie, d'en retrancher, à l'impreffwn, mie grande 

 partie, pour laiffer de la place aux Mémoires fuivants. Ce qu'on 

 a retranché de celui-ci concerne les Ofculat'tons de deax branches 

 d'une même courbe, & les Lemnifcates infiniment petites .'propriétés 

 fmguliéres dont les lignes algébriques ne deviennent fufceptibles que 

 lorf quelles font du quatrième ordre, ou d'un ordre fupérieur au 

 quatrième. On a donc pris le parti de renvoyer tout ce qui regarde 

 cette Théorie àun troifiéme Mémoire, qu'on a remis dans les Regiflres 

 de l'Académie, avec celui où il ef traité des différentes fortes de 

 points triples qu'on rencontre fouvent fur les lignes du quatrième ordre. 

 Ce qui doit précéder l'énumération de ces mêmes lignes. 



